Kalkulus Contoh

$x^{2} + y^{3} - x + 5 y = 3$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{3} - x + 5 y) = \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{3} - x + 5 y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Langkah 2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + \frac{d}{d x} [5 y]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 y$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + 5 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + 5 y'$

Langkah 2.5

Susun kembali suku-suku.

$3 y^{2} y' + 2 x + 5 y' - 1$

Langkah 3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 y^{2} y' + 2 x + 5 y' - 1 = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} y' + 5 y' - 1 = - 2 x$

Langkah 5.1.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$3 y^{2} y' + 5 y' = - 2 x + 1$

Langkah 5.2

Faktorkan $y'$ dari $3 y^{2} y' + 5 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 5 y' = - 2 x + 1$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $5 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot 5 = - 2 x + 1$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (3 y^{2}) + y' \cdot 5$ .

$y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$ dengan $3 y^{2} + 5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$ dengan $3 y^{2} + 5$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + 5)}{3 y^{2} + 5} = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y^{2} + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 y^{2} + 5)}{3 y^{2} + 5} = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 2 x + 1}{3 y^{2} + 5}$

Langkah 5.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + 1}{3 y^{2} + 5}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- 1)}{3 y^{2} + 5}$

Langkah 5.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (2 x - 1)}{3 y^{2} + 5}$

Langkah 5.3.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Tulis kembali $- (2 x - 1)$ sebagai $- 1 (2 x - 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - 1)}{3 y^{2} + 5}$

Langkah 5.3.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 x - 1}{3 y^{2} + 5}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x - 1}{3 y^{2} + 5}$