Kalkulus Contoh

$4 x^{3} - 9 x^{4}$

Langkah 1

Tulis $4 x^{3} - 9 x^{4}$ sebagai fungsi.

$f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} - 9 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$12 x^{2} - 9 (4 x^{3})$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $- 9$ .

$12 x^{2} - 36 x^{3}$

Langkah 2.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 36 x^{3} + 12 x^{2}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $- 36$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 36 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 36 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 36$ .

$- 108 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 108 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 108 x^{2} + 12 (2 x)$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $12$ .

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 24 x$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 108 x^{2} + 24 x$ .

$- 108 x^{2} + 24 x$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 108 x^{2} + 24 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 108 x^{2} + 24 x = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $- 12 x$ dari $- 108 x^{2} + 24 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $- 12 x$ dari $- 108 x^{2}$ .

$- 12 x (9 x) + 24 x = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $- 12 x$ dari $24 x$ .

$- 12 x (9 x) - 12 x \cdot - 2 = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $- 12 x$ dari $- 12 x (9 x) - 12 x (- 2)$ .

$- 12 x (9 x - 2) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$9 x - 2 = 0$

Langkah 3.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur $9 x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $9 x - 2$ sama dengan $0$ .

$9 x - 2 = 0$

Langkah 3.5.2

Selesaikan $9 x - 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$9 x = 2$

Langkah 3.5.2.2

Bagi setiap suku pada $9 x = 2$ dengan $9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $9 x = 2$ dengan $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

Langkah 3.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

Langkah 3.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2}{9}$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 12 x (9 x - 2) = 0$ benar.

$x = 0, \frac{2}{9}$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{4}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{4}$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 - 9 {(0)}^{4}$

Langkah 4.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 - 9 \cdot 0$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $- 9$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 4.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ adalah $(0, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 0)$

Langkah 4.3

Substitusikan $\frac{2}{9}$ dalam $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{2}{9}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{2}{9}) = 4 {(\frac{2}{9})}^{3} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{9}$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{2^{3}}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.3

Naikkan $9$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{729}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.4

Kalikan $4 (\frac{8}{729})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{8}{729}$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{4 \cdot 8}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.4.2

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{9}$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{2^{4}}{9^{4}}$

Langkah 4.3.2.1.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{16}{9^{4}}$

Langkah 4.3.2.1.7

Naikkan $9$ menjadi pangkat $4$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 (\frac{16}{6561})$

Langkah 4.3.2.1.8

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.8.1

Faktorkan $9$ dari $- 9$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 (- 1) (\frac{16}{6561})$

Langkah 4.3.2.1.8.2

Faktorkan $9$ dari $6561$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

Langkah 4.3.2.1.8.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

Langkah 4.3.2.1.8.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 1 (\frac{16}{729})$

Langkah 4.3.2.1.9

Tulis kembali $- 1 (\frac{16}{729})$ sebagai $- (\frac{16}{729})$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - \frac{16}{729}$

Langkah 4.3.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32 - 16}{729}$

Langkah 4.3.2.2.2

Kurangi $16$ dengan $32$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{16}{729}$

Langkah 4.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{16}{729}$ .

$\frac{16}{729}$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{2}{9}$ dalam $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ adalah $(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Langkah 4.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{9}) \cup (\frac{2}{9}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.1) = - 108 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 0.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 108 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 108$ dengan $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.08 + 24 (- 0.1)$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $24$ dengan $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.08 - 2.4$

Langkah 6.2.2

Kurangi $2.4$ dengan $- 1.08$ .

$f'' (- 0.1) = - 3.48$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3.48$ .

$- 3.48$

Langkah 6.3

Pada $- 0.1$ , turunan kedua adalah $- 3.48$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, 0)$

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \frac{2}{9})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.\overline{1}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 {(0.\overline{1})}^{2} + 24 (0.\overline{1})$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $0.\overline{1}$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 \cdot 0.01234567 + 24 (0.\overline{1})$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 108$ dengan $0.01234567$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 24 (0.\overline{1})$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $24$ dengan $0.\overline{1}$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 2.\overline{6}$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 1.33333333$ dan $2.\overline{6}$ .

$f'' (0.\overline{1}) = 1.33333333$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.33333333$ .

$1.33333333$

Langkah 7.3

Pada $0.\overline{1}$ , turunan keduanya adalah $1.33333333$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(0, \frac{2}{9})$ .

Meningkat pada $(0, \frac{2}{9})$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{2}{9}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.3\overline{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 {(0.3\overline{2})}^{2} + 24 (0.3\overline{2})$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $0.3\overline{2}$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 \cdot 0.10382716 + 24 (0.3\overline{2})$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $- 108$ dengan $0.10382716$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 24 (0.3\overline{2})$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $24$ dengan $0.3\overline{2}$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 7.73333333$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $- 11.21333333$ dan $7.73333333$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 3.48$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3.48$ .

$- 3.48$

Langkah 8.3

Pada $0.3\overline{2}$ , turunan kedua adalah $- 3.48$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(\frac{2}{9}, \infty)$

Menurun pada $(\frac{2}{9}, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 9

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ .

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Langkah 10