Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 \cos (x - π)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (x - π)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (x - π)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x - π)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = x - π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - π$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x - π])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x - π])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - π$ .

$2 (- \sin (x - π) \frac{d}{d x} [x - π])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 (\sin (x - π) \frac{d}{d x} [x - π])$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - π$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$- 2 \sin (x - π) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \sin (x - π) (1 + \frac{d}{d x} [- π])$

Langkah 1.3.4

Karena $- π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- π$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 2 \sin (x - π) (1 + 0)$

Langkah 1.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- 2 \sin (x - π) \cdot 1$

Langkah 1.3.5.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 \sin (x - π)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \sin (x - π)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x - π)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x - π)$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x - π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - π$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x - π))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (x - π))$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - π$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x - π) \frac{d}{d x} (x - π))$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - π$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π) (1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Langkah 2.3.3

Karena $- π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- π$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π) (1 + 0)$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π) \cdot 1$

Langkah 2.3.4.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 2 \sin (x - π) = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $- 2 \sin (x - π) = 0$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \sin (x - π) = 0$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x - π)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \sin (x - π)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $\sin (x - π)$ dengan $1$ .

$\sin (x - π) = \frac{0}{- 2}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 2$ .

$\sin (x - π) = 0$

Langkah 5

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x - π = \arcsin (0)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x - π = 0$

Langkah 7

Tambahkan $π$ ke kedua sisi persamaan.

$x = π$

Langkah 8

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x - π = π - 0$

Langkah 9

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x - π = π$

Langkah 9.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tambahkan $π$ ke kedua sisi persamaan.

$x = π + π$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$x = 2 π$

Langkah 10

Penyelesaian untuk persamaan $x - π = 0$ .

$x = π, 2 π$

Langkah 11

Evaluasi turunan kedua pada $x = π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \cos ((π) - π)$

Langkah 12

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$- 2 \cos (0)$

Langkah 12.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 12.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 13

$x = π$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = π$ adalah maksimum lokal

Langkah 14

Tentukan nilai y ketika $x = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti variabel $x$ dengan $π$ pada pernyataan tersebut.

$f (π) = 2 \cos ((π) - π)$

Langkah 14.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$f (π) = 2 \cos (0)$

Langkah 14.2.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (π) = 2 \cdot 1$

Langkah 14.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (π) = 2$

Langkah 14.2.4

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$y = 2$

Langkah 15

Evaluasi turunan kedua pada $x = 2 π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \cos ((2 π) - π)$

Langkah 16

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$- 2 \cos (π)$

Langkah 16.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 2 (- \cos (0))$

Langkah 16.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 16.4

Kalikan $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Langkah 16.4.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2$

Langkah 17

$x = 2 π$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 2 π$ adalah minimum lokal

Langkah 18

Tentukan nilai y ketika $x = 2 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Ganti variabel $x$ dengan $2 π$ pada pernyataan tersebut.

$f (2 π) = 2 \cos ((2 π) - π)$

Langkah 18.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$f (2 π) = 2 \cos (π)$

Langkah 18.2.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (2 π) = 2 (- \cos (0))$

Langkah 18.2.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (2 π) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 18.2.4

Kalikan $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (2 π) = 2 \cdot - 1$

Langkah 18.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (2 π) = - 2$

Langkah 18.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$y = - 2$

Langkah 19

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 2 \cos (x - π)$ .

$(π, 2)$ adalah maksimum lokal

$(2 π, - 2)$ adalah minimum lokal

Langkah 20