Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos (2 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \sin (x) - \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Langkah 1.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 1.3.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Langkah 2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Langkah 2.3.7

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 4 \cos (2 x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x) = 0$

Langkah 4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$2 \cos (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Langkah 4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Langkah 5

Faktorkan $2 \cos (x)$ dari $2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $2 \cos (x)$ dari $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan $2 \cos (x)$ dari $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) = 0$

Langkah 5.3

Faktorkan $2 \cos (x)$ dari $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x))$ .

$2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$

Langkah 6

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Langkah 7

Atur $\cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $\cos (x)$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $\cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 7.2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 7.2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 7.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 7.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 7.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 7.2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 7.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 8

Atur $1 + 2 \sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur $1 + 2 \sin (x)$ sama dengan $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Langkah 8.2

Selesaikan $1 + 2 \sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \sin (x) = - 1$

Langkah 8.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \sin (x) = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \sin (x) = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 8.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 8.2.2.2.1.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 8.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 8.2.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Langkah 8.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.4.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- \frac{1}{2})$ adalah $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Langkah 8.2.5

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 8.2.6

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.6.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 8.2.6.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 8.2.7

Penyelesaian untuk persamaan $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Langkah 9

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \sin (\frac{π}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 2 \cdot 1 + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Langkah 11.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Langkah 11.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 + 4 \cos (2 \frac{π}{2})$

Langkah 11.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 + 4 \cos (π)$

Langkah 11.1.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 2 + 4 (- \cos (0))$

Langkah 11.1.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 2 + 4 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 11.1.6

Kalikan $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 + 4 \cdot - 1$

Langkah 11.1.6.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 2 - 4$

Langkah 11.2

Kurangi $4$ dengan $- 2$ .

$- 6$

Langkah 12

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Langkah 13.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Langkah 13.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Langkah 13.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (π)$

Langkah 13.2.1.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (0)$

Langkah 13.2.1.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 13.2.1.6

Kalikan $- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

Langkah 13.2.1.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

Langkah 13.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3$

Langkah 13.2.3

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$y = 3$

Langkah 14

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Langkah 15

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Langkah 15.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Langkah 15.1.3

Kalikan $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Langkah 15.1.3.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2 + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Langkah 15.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 + 4 \cos (2 \frac{3 π}{2})$

Langkah 15.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 + 4 \cos (3 π)$

Langkah 15.1.5

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$2 + 4 \cos (π)$

Langkah 15.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$2 + 4 (- \cos (0))$

Langkah 15.1.7

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 + 4 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 15.1.8

Kalikan $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 + 4 \cdot - 1$

Langkah 15.1.8.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$2 - 4$

Langkah 15.2

Kurangi $4$ dengan $2$ .

$- 2$

Langkah 16

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 17

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Langkah 17.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Langkah 17.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Langkah 17.2.1.3

Kalikan $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Langkah 17.2.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Langkah 17.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Langkah 17.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (3 π)$

Langkah 17.2.1.5

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (π)$

Langkah 17.2.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (0)$

Langkah 17.2.1.7

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 17.2.1.8

Kalikan $- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 1$

Langkah 17.2.1.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 1$

Langkah 17.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Langkah 17.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$y = - 1$

Langkah 18

Evaluasi turunan kedua pada $x = - \frac{π}{6}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \sin (- \frac{π}{6}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Langkah 19

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- 2 \sin (\frac{11 π}{6}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Langkah 19.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Langkah 19.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Langkah 19.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Langkah 19.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Langkah 19.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Langkah 19.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Langkah 19.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Langkah 19.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.6.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{6}$ ke dalam pembilangnya.

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{6})$

Langkah 19.1.6.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{2 (3)})$

Langkah 19.1.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{2 \cdot 3})$

Langkah 19.1.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + 4 \cos (\frac{- π}{3})$

Langkah 19.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$1 + 4 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 19.1.8

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$1 + 4 \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 19.1.9

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$1 + 4 \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 19.1.10

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2})$

Langkah 19.1.11

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.11.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$1 + 2 (2) \frac{1}{2}$

Langkah 19.1.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

$1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Langkah 19.1.11.3

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + 2$

Langkah 19.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$3$

Langkah 20

$x = - \frac{π}{6}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - \frac{π}{6}$ adalah minimum lokal

Langkah 21

Tentukan nilai y ketika $x = - \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{π}{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (- \frac{π}{6}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Langkah 21.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.2.1.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{11 π}{6}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Langkah 21.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Langkah 21.2.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Langkah 21.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.2.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Langkah 21.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Langkah 21.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Langkah 21.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.2.1.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{6}$ ke dalam pembilangnya.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{6}))$

Langkah 21.2.1.5.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{2 (3)}))$

Langkah 21.2.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 3}))$

Langkah 21.2.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{- π}{3})$

Langkah 21.2.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.2.1.7

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 21.2.1.8

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 21.2.1.9

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \frac{1}{2}$

Langkah 21.2.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 21.2.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 21.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Langkah 21.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

Langkah 21.2.5.2

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Langkah 21.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Langkah 21.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Langkah 22

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{7 π}{6}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \sin (\frac{7 π}{6}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Langkah 23

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Langkah 23.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Langkah 23.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Langkah 23.1.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Langkah 23.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Langkah 23.1.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Langkah 23.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Langkah 23.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$1 + 4 \cos (2 \frac{7 π}{2 (3)})$

Langkah 23.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$1 + 4 \cos (2 \frac{7 π}{2 \cdot 3})$

Langkah 23.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + 4 \cos (\frac{7 π}{3})$

Langkah 23.1.6

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$1 + 4 \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 23.1.7

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2})$

Langkah 23.1.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1.8.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$1 + 2 (2) \frac{1}{2}$

Langkah 23.1.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Langkah 23.1.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + 2$

Langkah 23.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$3$

Langkah 24

$x = \frac{7 π}{6}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{7 π}{6}$ adalah minimum lokal

Langkah 25

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{7 π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{7 π}{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 \sin (\frac{7 π}{6}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Langkah 25.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Langkah 25.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Langkah 25.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Langkah 25.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Langkah 25.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Langkah 25.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{2 (3)}))$

Langkah 25.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 3}))$

Langkah 25.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{7 π}{3})$

Langkah 25.2.1.5

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 25.2.1.6

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \frac{1}{2}$

Langkah 25.2.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 25.2.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 25.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Langkah 25.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

Langkah 25.2.5.2

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Langkah 25.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Langkah 25.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Langkah 26

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 2 \sin (x) - \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{2}, 3)$ adalah maksimum lokal

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ adalah maksimum lokal

$(- \frac{π}{6}, - \frac{3}{2})$ adalah minimum lokal

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{2})$ adalah minimum lokal

Langkah 27