Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{6}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$4 x - 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$4 x - 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Langkah 1.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 6 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Langkah 1.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$4 x - 6 (- x^{- 4} (2 x))$

Langkah 1.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$4 x - 6 (- 2 x^{- 4} x)$

Langkah 1.3.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$4 x - 6 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Langkah 1.3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 x - 6 (- 2 x^{1 - 4})$

Langkah 1.3.9

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$4 x - 6 (- 2 x^{- 3})$

Langkah 1.3.10

Kalikan $- 2$ dengan $- 6$ .

$4 x + 12 x^{- 3}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 12 \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 1.4.2

Gabungkan $12$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x + \frac{12}{x^{3}}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x + \frac{12}{x^{3}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

Langkah 2.2.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{12}{x^{3}}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{3}}$ sebagai ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Langkah 2.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Langkah 2.3.5.2

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Langkah 2.3.6

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Langkah 2.3.7

Kalikan $x^{- 6}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Langkah 2.3.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{2 - 6})$

Langkah 2.3.7.3

Kurangi $6$ dengan $2$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 4})$

Langkah 2.3.8

Kalikan $- 3$ dengan $12$ .

$f'' (x) = 4 - 36 x^{- 4}$

Langkah 2.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 - 36 \frac{1}{x^{4}}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Gabungkan $- 36$ dan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{- 36}{x^{4}}$

Langkah 2.5.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = 4 - \frac{36}{x^{4}}$

Langkah 2.5.2

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = - \frac{36}{x^{4}} + 4$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$4 x + \frac{12}{x^{3}} = 0$

Langkah 4

Karena tidak ada nilai dari $x$ yang membuat turunan pertama sama dengan $0$ , maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 5

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 6