Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x + \frac{27}{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + \frac{27}{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x}]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{27}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $27$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{27}{x}$ terhadap $x$ adalah $27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 + 27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$3 + 27 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$3 + 27 (- x^{- 2})$

Langkah 1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $27$ .

$3 - 27 x^{- 2}$

Langkah 1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 - 27 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Gabungkan $- 27$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$3 + \frac{- 27}{x^{2}}$

Langkah 1.5.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 - \frac{27}{x^{2}}$

Langkah 1.5.2

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{27}{x^{2}} + 3$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{27}{x^{2}} + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{27}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{27}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{27}{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 27$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{27}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 27 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 27 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 27 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = - 27 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 27 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = - 27 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - 27 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 27 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 27 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.9

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 27 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.10

Kalikan $- 2$ dengan $- 27$ .

$f'' (x) = 54 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 54 x^{- 3} + 0$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 54 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gabungkan $54$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{54}{x^{3}} + 0$

Langkah 2.4.2.2

Tambahkan $\frac{54}{x^{3}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{54}{x^{3}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \frac{27}{x^{2}} + 3 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + \frac{27}{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{x})$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{x})$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{27}{x})$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f' (x) = 3 + \frac{d}{d x} (\frac{27}{x})$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{27}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $27$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{27}{x}$ terhadap $x$ adalah $27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 3 + 27 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Langkah 4.1.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 3 + 27 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Langkah 4.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f' (x) = 3 + 27 (- x^{- 2})$

Langkah 4.1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $27$ .

$f' (x) = 3 - 27 x^{- 2}$

Langkah 4.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 3 - 27 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 4.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1.1

Gabungkan $- 27$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 3 + \frac{- 27}{x^{2}}$

Langkah 4.1.5.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = 3 - \frac{27}{x^{2}}$

Langkah 4.1.5.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{27}{x^{2}} + 3$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{27}{x^{2}} + 3$ .

$- \frac{27}{x^{2}} + 3$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{27}{x^{2}} + 3 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{27}{x^{2}} + 3 = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{27}{x^{2}} = - 3$

Langkah 5.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x^{2}, 1$

Langkah 5.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{2}$

Langkah 5.4

Kalikan setiap suku pada $- \frac{27}{x^{2}} = - 3$ dengan $x^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{27}{x^{2}} = - 3$ dengan $x^{2}$ .

$- \frac{27}{x^{2}} x^{2} = - 3 x^{2}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{27}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 27}{x^{2}} x^{2} = - 3 x^{2}$

Langkah 5.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 27}{x^{2}} x^{2} = - 3 x^{2}$

Langkah 5.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 27 = - 3 x^{2}$

Langkah 5.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 3 x^{2} = - 27$ .

$- 3 x^{2} = - 27$

Langkah 5.5.2

Bagi setiap suku pada $- 3 x^{2} = - 27$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- 3 x^{2} = - 27$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 27}{- 3}$

Langkah 5.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 27}{- 3}$

Langkah 5.5.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 27}{- 3}$

Langkah 5.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1

Bagilah $- 27$ dengan $- 3$ .

$x^{2} = 9$

Langkah 5.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Langkah 5.5.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Langkah 5.5.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 3$

Langkah 5.5.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 3$

Langkah 5.5.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 3$

Langkah 5.5.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 3, - 3$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur penyebut dalam $\frac{27}{x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 6.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 3, - 3$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 3$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{54}{{(3)}^{3}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{54}{27}$

Langkah 9.2

Bagilah $54$ dengan $27$ .

$2$

Langkah 10

$x = 3$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 3$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f (3) = 3 (3) + \frac{27}{3}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$f (3) = 9 + \frac{27}{3}$

Langkah 11.2.1.2

Bagilah $27$ dengan $3$ .

$f (3) = 9 + 9$

Langkah 11.2.2

Tambahkan $9$ dan $9$ .

$f (3) = 18$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $18$ .

$y = 18$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 3$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{54}{{(- 3)}^{3}}$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{54}{- 27}$

Langkah 13.2

Bagilah $54$ dengan $- 27$ .

$- 2$

Langkah 14

$x = - 3$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 3$ adalah maksimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 3) = 3 (- 3) + \frac{27}{- 3}$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + \frac{27}{- 3}$

Langkah 15.2.1.2

Bagilah $27$ dengan $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 - 9$

Langkah 15.2.2

Kurangi $9$ dengan $- 9$ .

$f (- 3) = - 18$

Langkah 15.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 18$ .

$y = - 18$

Langkah 16

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 3 x + \frac{27}{x}$ .

$(3, 18)$ adalah minimum lokal

$(- 3, - 18)$ adalah maksimum lokal

Langkah 17