Kalkulus Contoh

$f (x) = 7 x \ln (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$7 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 1.4.4

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$7 (1 + \ln (x))$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$7 \cdot 1 + 7 \ln (x)$

Langkah 1.5.2

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$7 + 7 \ln (x)$

Langkah 1.5.3

Susun kembali suku-suku.

$7 \ln (x) + 7$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 \ln (x) + 7$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [7 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (7)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [7 \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (7)$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 7 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (7)$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $7$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x} + \frac{d}{d x} (7)$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x} + 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $\frac{7}{x}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$7 \ln (x) + 7 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Langkah 4.1.2

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.1.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.1.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$7 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 4.1.4.4

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$7 (1 + \ln (x))$

Langkah 4.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$7 \cdot 1 + 7 \ln (x)$

Langkah 4.1.5.2

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$7 + 7 \ln (x)$

Langkah 4.1.5.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 7 \ln (x) + 7$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $7 \ln (x) + 7$ .

$7 \ln (x) + 7$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $7 \ln (x) + 7 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$7 \ln (x) + 7 = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $7$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$7 \ln (x) = - 7$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $7 \ln (x) = - 7$ dengan $7$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $7 \ln (x) = - 7$ dengan $7$ .

$\frac{7 \ln (x)}{7} = \frac{- 7}{7}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{7 \ln (x)}{7} = \frac{- 7}{7}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 7}{7}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah $- 7$ dengan $7$ .

$\ln (x) = - 1$

Langkah 5.4

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Langkah 5.5

Tulis kembali $\ln (x) = - 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Langkah 5.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Langkah 5.6.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 6.2

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \frac{1}{e}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{1}{e}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{7}{\frac{1}{e}}$

Langkah 9

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$7 e$

Langkah 10

$x = \frac{1}{e}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{1}{e}$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{1}{e}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{e}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{1}{e}) = 7 (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Gabungkan $7$ dan $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Langkah 11.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{e}$ sebagai $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Langkah 11.2.3

Tulis kembali $\ln (1 e^{- 1})$ sebagai $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Langkah 11.2.4

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $- 1$ keluar dari eksponen.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Langkah 11.2.5

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Langkah 11.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Langkah 11.2.7

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (0 - 1)$

Langkah 11.2.8

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot - 1$

Langkah 11.2.9

Kalikan $\frac{7}{e} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.9.1

Gabungkan $\frac{7}{e}$ dan $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7 \cdot - 1}{e}$

Langkah 11.2.9.2

Kalikan $7$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 7}{e}$

Langkah 11.2.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{7}{e}$

Langkah 11.2.11

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{7}{e}$ .

$y = - \frac{7}{e}$

Langkah 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 7 x \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{7}{e})$ adalah minimum lokal

Langkah 13