Kalkulus Contoh

$f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x + \cos (2 x + 1)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x + 1$ .

$5 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Langkah 1.3.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$5 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Langkah 1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)$

Langkah 1.3.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 + 0)$

Langkah 1.3.7

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$5 - \sin (2 x + 1) \cdot 2$

Langkah 1.3.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$5 - 2 \sin (2 x + 1)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 - 2 \sin (2 x + 1)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

Langkah 2.1.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \sin (2 x + 1)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x + 1)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Langkah 2.2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Langkah 2.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Langkah 2.2.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Langkah 2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))$

Langkah 2.2.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))$

Langkah 2.2.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 + 0))$

Langkah 2.2.8

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \cdot 2)$

Langkah 2.2.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x + 1))$

Langkah 2.2.10

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x + 1)$

Langkah 2.3

Kurangi $4 \cos (2 x + 1)$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x + 1)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$5 - 2 \sin (2 x + 1) = 0$

Langkah 4

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Langkah 5.2.1.2

Bagilah $\sin (2 x + 1)$ dengan $1$ .

$\sin (2 x + 1) = \frac{- 5}{- 2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\sin (2 x + 1) = \frac{5}{2}$

Langkah 6

Jangkauan sinus adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $\frac{5}{2}$ tidak berada dalam jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 7

Evaluasi turunan kedua pada $x =$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 4 \cos (2 + 1)$

Langkah 8

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- 4 \cos (3)$

Langkah 8.2

Evaluasi $\cos (3)$ .

$- 4 \cdot 0.99862953$

Langkah 8.3

Kalikan $- 4$ dengan $0.99862953$ .

$- 3.99451813$

Langkah 9

$x =$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x =$ adalah maksimum lokal

Langkah 10

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m a x i m u m))$ adalah maksimum lokal

Langkah 11