Kalkulus Contoh

$f (x) = 6 \cos^{2} (x) - 12 \sin (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 \cos^{2} (x) - 12 \sin (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 \cos^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$6 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Langkah 1.2.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$6 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Langkah 1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$6 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Langkah 1.2.5

Kalikan $- 2$ dengan $6$ .

$- 12 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- 12 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 \cos (x) \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 \cos (x) \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Langkah 2.2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Langkah 2.2.4

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Langkah 2.2.5

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Langkah 2.2.6

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Langkah 2.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 12 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Langkah 2.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Langkah 2.2.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Langkah 2.2.10

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Langkah 2.2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Langkah 2.2.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 12 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 12 (- \sin (x))$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 12$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 12 \sin (x)$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - 12 \cos^{2} (x) - 12 (- \sin^{2} (x)) + 12 \sin (x)$

Langkah 2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 12$ .

$f'' (x) = - 12 \cos^{2} (x) + 12 \sin^{2} (x) + 12 \sin (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x) = 0$

Langkah 4

Faktorkan $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $12 \cos (x)$ dari $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $12 \cos (x)$ dari $- 12 \cos (x) \sin (x)$ .

$12 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 12 \cos (x) = 0$

Langkah 4.1.2

Faktorkan $12 \cos (x)$ dari $- 12 \cos (x)$ .

$12 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 12 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Langkah 4.1.3

Faktorkan $12 \cos (x)$ dari $12 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 12 \cos (x) \cdot - 1$ .

$12 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

Langkah 4.2

Tulis kembali $- 1 \sin (x)$ sebagai $- \sin (x)$ .

$12 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

Langkah 5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

Langkah 6

Atur $\cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $\cos (x)$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $\cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 6.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 6.2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 6.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 7

Atur $- \sin (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $- \sin (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$- \sin (x) - 1 = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $- \sin (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$- \sin (x) = 1$

Langkah 7.2.2

Bagi setiap suku pada $- \sin (x) = 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- \sin (x) = 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 7.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 7.2.2.2.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Langkah 7.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.3.1

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Langkah 7.2.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Langkah 7.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- 1)$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Langkah 7.2.5

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 7.2.6

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 7.2.6.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 7.2.7

Penyelesaian untuk persamaan $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $12 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$- 12 \cdot 0^{2} + 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.3

Kalikan $- 12$ dengan $0$ .

$0 + 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 + 12 \cdot 1^{2} + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$0 + 12 \cdot 1 + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.6

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$0 + 12 + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.7

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 + 12 + 12 \cdot 1$

Langkah 10.1.8

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$0 + 12 + 12$

Langkah 10.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tambahkan $0$ dan $12$ .

$12 + 12$

Langkah 10.2.2

Tambahkan $12$ dan $12$ .

$24$

Langkah 11

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 12 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 0^{2} - 12 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.2.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 0 - 12 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.2.1.3

Kalikan $6$ dengan $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 12 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.2.1.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 12 \cdot 1$

Langkah 12.2.1.5

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 12$

Langkah 12.2.2

Kurangi $12$ dengan $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 12$

Langkah 12.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 12$ .

$y = - 12$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 12 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- 12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$- 12 \cdot 0^{2} + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.4

Kalikan $- 12$ dengan $0$ .

$0 + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$0 + 12 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.6

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 + 12 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 + 12 {(- 1)}^{2} + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$0 + 12 \cdot 1 + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.9

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$0 + 12 + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.10

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$0 + 12 + 12 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 14.1.11

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 + 12 + 12 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 14.1.12

Kalikan $12 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.12.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 + 12 + 12 \cdot - 1$

Langkah 14.1.12.2

Kalikan $12$ dengan $- 1$ .

$0 + 12 - 12$

Langkah 14.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Tambahkan $0$ dan $12$ .

$12 - 12$

Langkah 14.2.2

Kurangi $12$ dengan $12$ .

$0$

Langkah 15

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Langkah 15.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 4$ , dari interval $(- \infty, - \frac{π}{2})$ dalam turunan pertama $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 4) = - 12 \cos (- 4) \sin (- 4) - 12 \cos (- 4)$

Langkah 15.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.1.1

Evaluasi $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 12 \cdot (- 0.65364362 \sin (- 4)) - 12 \cos (- 4)$

Langkah 15.2.2.1.2

Kalikan $- 12$ dengan $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = 7.84372345 \sin (- 4) - 12 \cos (- 4)$

Langkah 15.2.2.1.3

Evaluasi $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = 7.84372345 \cdot 0.75680249 - 12 \cos (- 4)$

Langkah 15.2.2.1.4

Kalikan $7.84372345$ dengan $0.75680249$ .

$f' (- 4) = 5.93614947 - 12 \cos (- 4)$

Langkah 15.2.2.1.5

Evaluasi $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = 5.93614947 - 12 \cdot - 0.65364362$

Langkah 15.2.2.1.6

Kalikan $- 12$ dengan $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = 5.93614947 + 7.84372345$

Langkah 15.2.2.2

Tambahkan $5.93614947$ dan $7.84372345$ .

$f' (- 4) = 13.77987293$

Langkah 15.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $13.77987293$ .

$13.77987293$

Langkah 15.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0$ , dari interval $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ dalam turunan pertama $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = - 12 \cos (0) \sin (0) - 12 \cos (0)$

Langkah 15.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.2.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f' (0) = - 12 \cdot (1 \sin (0)) - 12 \cos (0)$

Langkah 15.3.2.1.2

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$f' (0) = - 12 \sin (0) - 12 \cos (0)$

Langkah 15.3.2.1.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f' (0) = - 12 \cdot 0 - 12 \cos (0)$

Langkah 15.3.2.1.4

Kalikan $- 12$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cos (0)$

Langkah 15.3.2.1.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 1$

Langkah 15.3.2.1.6

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$f' (0) = 0 - 12$

Langkah 15.3.2.2

Kurangi $12$ dengan $0$ .

$f' (0) = - 12$

Langkah 15.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 12$ .

$- 12$

Langkah 15.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $3$ , dari interval $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ dalam turunan pertama $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = - 12 \cos (3) \sin (3) - 12 \cos (3)$

Langkah 15.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.2.1.1

Evaluasi $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 12 \cdot (- 0.98999249 \sin (3)) - 12 \cos (3)$

Langkah 15.4.2.1.2

Kalikan $- 12$ dengan $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 11.87990995 \sin (3) - 12 \cos (3)$

Langkah 15.4.2.1.3

Evaluasi $\sin (3)$ .

$f' (3) = 11.87990995 \cdot 0.14112 - 12 \cos (3)$

Langkah 15.4.2.1.4

Kalikan $11.87990995$ dengan $0.14112$ .

$f' (3) = 1.67649298 - 12 \cos (3)$

Langkah 15.4.2.1.5

Evaluasi $\cos (3)$ .

$f' (3) = 1.67649298 - 12 \cdot - 0.98999249$

Langkah 15.4.2.1.6

Kalikan $- 12$ dengan $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 1.67649298 + 11.87990995$

Langkah 15.4.2.2

Tambahkan $1.67649298$ dan $11.87990995$ .

$f' (3) = 13.55640294$

Langkah 15.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $13.55640294$ .

$13.55640294$

Langkah 15.5

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $7$ , dari interval $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ dalam turunan pertama $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.1

Ganti variabel $x$ dengan $7$ pada pernyataan tersebut.

$f' (7) = - 12 \cos (7) \sin (7) - 12 \cos (7)$

Langkah 15.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.2.1.1

Evaluasi $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 12 \cdot (0.75390225 \sin (7)) - 12 \cos (7)$

Langkah 15.5.2.1.2

Kalikan $- 12$ dengan $0.75390225$ .

$f' (7) = - 9.04682705 \sin (7) - 12 \cos (7)$

Langkah 15.5.2.1.3

Evaluasi $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 9.04682705 \cdot 0.65698659 - 12 \cos (7)$

Langkah 15.5.2.1.4

Kalikan $- 9.04682705$ dengan $0.65698659$ .

$f' (7) = - 5.94364413 - 12 \cos (7)$

Langkah 15.5.2.1.5

Evaluasi $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 5.94364413 - 12 \cdot 0.75390225$

Langkah 15.5.2.1.6

Kalikan $- 12$ dengan $0.75390225$ .

$f' (7) = - 5.94364413 - 9.04682705$

Langkah 15.5.2.2

Kurangi $9.04682705$ dengan $- 5.94364413$ .

$f' (7) = - 14.99047118$

Langkah 15.5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 14.99047118$ .

$- 14.99047118$

Langkah 15.6

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = - \frac{π}{2}$ , maka $x = - \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal.

$x = - \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 15.7

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = \frac{π}{2}$ , maka $x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal.

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 15.8

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = \frac{3 π}{2}$ , maka $x = \frac{3 π}{2}$ adalah maksimum lokal.

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 15.9

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 6 \cos^{2} (x) - 12 \sin (x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah maksimum lokal

$x = - \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 16