Kalkulus Contoh

$f (x) = 5 \cos^{2} (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 \cos^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.3

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$10 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.4

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$10 \cos (x) (- \sin (x))$

Langkah 1.5

Kalikan $- 1$ dengan $10$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 10 \cos (x) \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.4

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.5

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 10 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.8

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Langkah 2.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Langkah 2.10

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Langkah 2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Langkah 2.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Langkah 2.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) - 10 (- \sin^{2} (x))$

Langkah 2.13.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Langkah 5

Atur $\cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $\cos (x)$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $\cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 5.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 5.2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 5.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 6

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 6.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 6.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 6.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0$ .

$x = 0, π$

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 9.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 9.1.3

Kalikan $- 10$ dengan $0$ .

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 9.1.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 + 10 \cdot 1^{2}$

Langkah 9.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$0 + 10 \cdot 1$

Langkah 9.1.6

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$0 + 10$

Langkah 9.2

Tambahkan $0$ dan $10$ .

$10$

Langkah 10

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0^{2}$

Langkah 11.2.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0$

Langkah 11.2.3

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Langkah 11.2.4

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 10 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 13.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 13.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 13.1.4

Kalikan $- 10$ dengan $0$ .

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 13.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$0 + 10 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

Langkah 13.1.6

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 + 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Langkah 13.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 + 10 {(- 1)}^{2}$

Langkah 13.1.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$0 + 10 \cdot 1$

Langkah 13.1.9

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$0 + 10$

Langkah 13.2

Tambahkan $0$ dan $10$ .

$10$

Langkah 14

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 15.2.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot 0^{2}$

Langkah 15.2.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot 0$

Langkah 15.2.4

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Langkah 15.2.5

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 16

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 10 \cos^{2} (0) + 10 \sin^{2} (0)$

Langkah 17

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 10 \cdot 1^{2} + 10 \sin^{2} (0)$

Langkah 17.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 10 \cdot 1 + 10 \sin^{2} (0)$

Langkah 17.1.3

Kalikan $- 10$ dengan $1$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (0)$

Langkah 17.1.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0^{2}$

Langkah 17.1.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0$

Langkah 17.1.6

Kalikan $10$ dengan $0$ .

$- 10 + 0$

Langkah 17.2

Tambahkan $- 10$ dan $0$ .

$- 10$

Langkah 18

$x = 0$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 19

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 5 \cos^{2} (0)$

Langkah 19.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (0) = 5 \cdot 1^{2}$

Langkah 19.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (0) = 5 \cdot 1$

Langkah 19.2.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$f (0) = 5$

Langkah 19.2.4

Jawaban akhirnya adalah $5$ .

$y = 5$

Langkah 20

Evaluasi turunan kedua pada $x = π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 10 \cos^{2} (π) + 10 \sin^{2} (π)$

Langkah 21

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 10 {(- \cos (0))}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Langkah 21.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Langkah 21.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 10 {(- 1)}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Langkah 21.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 10 \cdot 1 + 10 \sin^{2} (π)$

Langkah 21.1.5

Kalikan $- 10$ dengan $1$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (π)$

Langkah 21.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- 10 + 10 \sin^{2} (0)$

Langkah 21.1.7

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0^{2}$

Langkah 21.1.8

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0$

Langkah 21.1.9

Kalikan $10$ dengan $0$ .

$- 10 + 0$

Langkah 21.2

Tambahkan $- 10$ dan $0$ .

$- 10$

Langkah 22

$x = π$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = π$ adalah maksimum lokal

Langkah 23

Tentukan nilai y ketika $x = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1

Ganti variabel $x$ dengan $π$ pada pernyataan tersebut.

$f (π) = 5 \cos^{2} (π)$

Langkah 23.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (π) = 5 {(- \cos (0))}^{2}$

Langkah 23.2.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (π) = 5 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Langkah 23.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (π) = 5 {(- 1)}^{2}$

Langkah 23.2.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (π) = 5 \cdot 1$

Langkah 23.2.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$f (π) = 5$

Langkah 23.2.6

Jawaban akhirnya adalah $5$ .

$y = 5$

Langkah 24

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 5 \cos^{2} (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 0)$ adalah minimum lokal

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ adalah minimum lokal

$(0, 5)$ adalah maksimum lokal

$(π, 5)$ adalah maksimum lokal

Langkah 25