Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 x \ln (x) - 7 x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x \ln (x) - 7 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 1.2.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 1.2.5

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 1.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 1.2.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 1.2.7

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7 x$ terhadap $x$ adalah $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$4 \cdot 1 + 4 \ln (x) - 7$

Langkah 1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + 4 \ln (x) - 7$

Langkah 1.4.2.2

Kurangi $7$ dengan $4$ .

$4 \ln (x) - 3$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 \ln (x) - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x} + \frac{d}{d x} (- 3)$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x} + 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $\frac{4}{x}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$4 \ln (x) - 3 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x \ln (x) - 7 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 4.1.2.2

$4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 4.1.2.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 4.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 4.1.2.5

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 4.1.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 4.1.2.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 4.1.2.7

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7 x$ terhadap $x$ adalah $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \cdot 1$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7$

Langkah 4.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$4 \cdot 1 + 4 \ln (x) - 7$

Langkah 4.1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.2.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + 4 \ln (x) - 7$

Langkah 4.1.4.2.2

Kurangi $7$ dengan $4$ .

$f' (x) = 4 \ln (x) - 3$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \ln (x) - 3$ .

$4 \ln (x) - 3$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 \ln (x) - 3 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$4 \ln (x) - 3 = 0$

Langkah 5.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$4 \ln (x) = 3$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $4 \ln (x) = 3$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $4 \ln (x) = 3$ dengan $4$ .

$\frac{4 \ln (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \ln (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\ln (x) = \frac{3}{4}$

Langkah 5.4

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{3}{4}}$

Langkah 5.5

Tulis kembali $\ln (x) = \frac{3}{4}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{3}{4}} = x$

Langkah 5.6

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{\frac{3}{4}}$ .

$x = e^{\frac{3}{4}}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 6.2

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = e^{\frac{3}{4}}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = e^{\frac{3}{4}}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{4}{e^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 9

$x = e^{\frac{3}{4}}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = e^{\frac{3}{4}}$ adalah minimum lokal

Langkah 10

Tentukan nilai y ketika $x = e^{\frac{3}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ganti variabel $x$ dengan $e^{\frac{3}{4}}$ pada pernyataan tersebut.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 (e^{\frac{3}{4}}) \ln (e^{\frac{3}{4}}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Langkah 10.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $\frac{3}{4}$ keluar dari eksponen.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4} \cdot \ln (e)) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Langkah 10.2.1.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4} \cdot 1) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Langkah 10.2.1.3

Kalikan $\frac{3}{4}$ dengan $1$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Langkah 10.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $4 e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 (e^{\frac{3}{4}}) (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Langkah 10.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Langkah 10.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = e^{\frac{3}{4}} \cdot 3 - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Langkah 10.2.1.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 3 e^{\frac{3}{4}} - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Langkah 10.2.2

Kurangi $7 e^{\frac{3}{4}}$ dengan $3 e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = - 4 e^{\frac{3}{4}}$

Langkah 10.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4 e^{\frac{3}{4}}$ .

$y = - 4 e^{\frac{3}{4}}$

Langkah 11

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 4 x \ln (x) - 7 x$ .

$(e^{\frac{3}{4}}, - 4 e^{\frac{3}{4}})$ adalah minimum lokal

Langkah 12