Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} + \frac{4}{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + \frac{4}{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4}{x}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$4 x^{3} + 4 (- x^{- 2})$

Langkah 1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$4 x^{3} - 4 x^{- 2}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$4 x^{3} + \frac{- 4}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{4}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Langkah 2.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Langkah 2.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- x^{- 4} (2 x))$

Langkah 2.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{- 4} x)$

Langkah 2.3.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Langkah 2.3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{1 - 4})$

Langkah 2.3.9

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Langkah 2.3.10

Kalikan $- 2$ dengan $- 4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 x^{- 3}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

Langkah 2.4.2

Gabungkan $8$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{8}{x^{3}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + \frac{4}{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x})$

Langkah 4.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x})$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4}{x}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Langkah 4.1.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Langkah 4.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 (- x^{- 2})$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{- 2}$

Langkah 4.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 4.1.3.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.1

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{- 4}{x^{2}}$

Langkah 4.1.3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = 4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$ .

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$

Langkah 5.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, x^{2}, 1$

Langkah 5.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{2}$

Langkah 5.3

Kalikan setiap suku pada $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ dengan $x^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan setiap suku dalam $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ dengan $x^{2}$ .

$4 x^{3} x^{2} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Kalikan $x^{3}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x^{3}) - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Langkah 5.3.2.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 x^{2 + 3} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Langkah 5.3.2.1.1.3

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$4 x^{5} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{4}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$4 x^{5} + \frac{- 4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x^{5} + \frac{- 4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x^{5} - 4 = 0 x^{2}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $0$ dengan $x^{2}$ .

$4 x^{5} - 4 = 0$

Langkah 5.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x^{5} = 4$

Langkah 5.4.2

Bagi setiap suku pada $4 x^{5} = 4$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x^{5} = 4$ dengan $4$ .

$\frac{4 x^{5}}{4} = \frac{4}{4}$

Langkah 5.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x^{5}}{4} = \frac{4}{4}$

Langkah 5.4.2.2.1.2

Bagilah $x^{5}$ dengan $1$ .

$x^{5} = \frac{4}{4}$

Langkah 5.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.3.1

Bagilah $4$ dengan $4$ .

$x^{5} = 1$

Langkah 5.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{1}$

Langkah 5.4.4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = 1$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur penyebut dalam $\frac{4}{x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 6.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 1$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$12 {(1)}^{2} + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$12 \cdot 1 + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

Langkah 9.1.2

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$12 + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

Langkah 9.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$12 + \frac{8}{1}$

Langkah 9.1.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$12 + 8$

Langkah 9.2

Tambahkan $12$ dan $8$ .

$20$

Langkah 10

$x = 1$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 1$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = {(1)}^{4} + \frac{4}{1}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 1 + \frac{4}{1}$

Langkah 11.2.1.2

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$f (1) = 1 + 4$

Langkah 11.2.2

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$f (1) = 5$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $5$ .

$y = 5$

Langkah 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x^{4} + \frac{4}{x}$ .

$(1, 5)$ adalah minimum lokal

Langkah 13