Kalkulus Contoh

$f (x) = 1 - x^{\frac{2}{3}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{\frac{2}{3}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 1.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{\frac{2}{3}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Langkah 1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Langkah 1.2.6.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Langkah 1.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$0 - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Langkah 1.2.8

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$0 - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 1.2.9

Pindahkan $x^{- \frac{1}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.3

Kurangi $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ dengan $0$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- \frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ sebagai ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Langkah 2.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}$

Langkah 2.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 1}{3}}$

Langkah 2.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{1}{3}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Langkah 2.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Langkah 2.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Langkah 2.7.2

Kurangi $3$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Langkah 2.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Langkah 2.9

Gabungkan $x^{- \frac{4}{3}}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Langkah 2.10

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2}{3}) \cdot \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$

Langkah 2.10.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$

Langkah 2.11

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Langkah 2.12

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Langkah 2.12.2

Pindahkan $x^{- \frac{4}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{\frac{2}{3}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 4.1.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{\frac{2}{3}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Langkah 4.1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Langkah 4.1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 4.1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 4.1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Langkah 4.1.2.6.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Langkah 4.1.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Langkah 4.1.2.8

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 4.1.2.9

Pindahkan $x^{- \frac{1}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 4.1.3

Kurangi $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ dengan $0$ .

$f' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 = 0$

Langkah 5.3

Karena $2 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$- \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Langkah 6.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$- \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Langkah 6.2

Atur penyebut dalam $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Langkah 6.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Sederhanakan ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.2.1.4

Sederhanakan.

$27 x = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$27 x = 0$

Langkah 6.3.3

Bagi setiap suku pada $27 x = 0$ dengan $27$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Bagilah setiap suku di $27 x = 0$ dengan $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Langkah 6.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Langkah 6.3.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Langkah 6.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $27$ .

$x = 0$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$\frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{2}{9 \cdot 0}$

Langkah 9.3.2

Kalikan $9$ dengan $0$ .

$\frac{2}{0}$

Langkah 9.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{2}{0}$

Langkah 9.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 10

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 10.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = - \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 10.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 10.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $2$ , dari interval $(0, \infty)$ dalam turunan pertama $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = - \frac{2}{3 {(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 10.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1

Pindahkan ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = - \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $2^{- \frac{1}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $2^{- \frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (2) = - \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (2) = - \frac{2^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (2) = - \frac{2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (2) = - \frac{2^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.2.4

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$f' (2) = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Langkah 10.4

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = 0$ , maka $x = 0$ adalah maksimum lokal.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 11