Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} e^{3 x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = e^{3 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.3.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 x}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

Langkah 1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2} e^{3 x}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Langkah 2.2.2

$f'' (x) = 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Langkah 2.2.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Langkah 2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Langkah 2.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Langkah 2.2.7

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Langkah 2.2.8

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x e^{3 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x e^{3 x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{3 x})$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.3.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1)$

Langkah 2.3.7

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1)$

Langkah 2.3.8

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

Langkah 2.3.9

Kalikan $e^{3 x}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Langkah 2.4.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Langkah 2.4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$f'' (x) = 9 (x^{2} (e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Langkah 2.4.3.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 (e^{3 x} (x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Langkah 2.4.3.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 e^{3 x} x + 6 (x (e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Langkah 2.4.3.4

Tambahkan $6 e^{3 x} x$ dan $6 x e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.4.1

Pindahkan $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 x e^{3 x} + 6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Langkah 2.4.3.4.2

Tambahkan $6 x e^{3 x}$ dan $6 x e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 12 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Langkah 2.4.4

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = 9 e^{3 x} x^{2} + 12 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$

Langkah 2.4.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $9 e^{3 x} x^{2} + 12 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 12 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.3.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 x}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

Langkah 4.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

Langkah 4.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan $x e^{3 x}$ dari $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $x e^{3 x}$ dari $3 x^{2} e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + 2 x e^{3 x} = 0$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $x e^{3 x}$ dari $2 x e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2) = 0$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $x e^{3 x}$ dari $x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2)$ .

$x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$

Langkah 5.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$e^{3 x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

Langkah 5.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.5

Atur $e^{3 x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Atur $e^{3 x}$ sama dengan $0$ .

$e^{3 x} = 0$

Langkah 5.5.2

Selesaikan $e^{3 x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

Langkah 5.5.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 5.5.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{3 x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 5.6

Atur $3 x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Atur $3 x + 2$ sama dengan $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Langkah 5.6.2

Selesaikan $3 x + 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x = - 2$

Langkah 5.6.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = - 2$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = - 2$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Langkah 5.6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Langkah 5.6.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Langkah 5.6.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{2}{3}$

Langkah 5.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$ benar.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$9 {(0)}^{2} e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$9 \cdot 0 e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Langkah 9.1.2

Kalikan $9$ dengan $0$ .

$0 e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Langkah 9.1.3

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$0 e^{0} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Langkah 9.1.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$0 \cdot 1 + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Langkah 9.1.5

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$0 + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Langkah 9.1.6

Kalikan $12$ dengan $0$ .

$0 + 0 e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Langkah 9.1.7

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{3 (0)}$

Langkah 9.1.8

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{3 (0)}$

Langkah 9.1.9

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{3 (0)}$

Langkah 9.1.10

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Langkah 9.1.11

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Langkah 9.1.12

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$0 + 0 + 2$

Langkah 9.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + 2$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$2$

Langkah 10

$x = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{3 (0)}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 e^{3 (0)}$

Langkah 11.2.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Langkah 11.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Langkah 11.2.4

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$f (0) = 0$

Langkah 11.2.5

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = - \frac{2}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$9 {(- \frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{2}{3}$ .

$9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{3}$ .

$9 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$9 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.3

Kalikan $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ dengan $1$ .

$9 \frac{2^{2}}{3^{2}} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$9 \frac{4}{3^{2}} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$9 (\frac{4}{9}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$9 (\frac{4}{9}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.7

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.7.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$4 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 e^{- 2} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.8

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.9

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.10

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.10.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{4}{e^{2}} + 12 (\frac{- 2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.10.2

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 3 (4) \frac{- 2}{3} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.10.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{e^{2}} + 3 \cdot 4 \frac{- 2}{3} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.10.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{e^{2}} + 4 \cdot - 2 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.11

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.12

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.12.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.12.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.13

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.14

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 13.1.16

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.16.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Langkah 13.1.16.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Langkah 13.1.16.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Langkah 13.1.17

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Langkah 13.1.18

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Langkah 13.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Langkah 13.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.1

Kurangi $8$ dengan $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Langkah 13.2.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Langkah 13.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Langkah 14

$x = - \frac{2}{3}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - \frac{2}{3}$ adalah maksimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = - \frac{2}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{2}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{2}{3}) = {(- \frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 15.2.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 15.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 15.2.2.2

Kalikan $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ dengan $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{2^{2}}{3^{2}} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 15.2.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3^{2}} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 15.2.2.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 15.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Langkah 15.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Langkah 15.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{- 2}$

Langkah 15.2.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Langkah 15.2.5

Gabungkan.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 \cdot 1}{9 e^{2}}$

Langkah 15.2.6

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9 e^{2}}$

Langkah 15.2.7

Jawaban akhirnya adalah $\frac{4}{9 e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{9 e^{2}}$

Langkah 16

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x^{2} e^{3 x}$ .

$(0, 0)$ adalah minimum lokal

$(- \frac{2}{3}, \frac{4}{9 e^{2}})$ adalah maksimum lokal

Langkah 17