Kalkulus Contoh

$y = x - x^{2}$

Langkah 1

Tulis $y = x - x^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x - x^{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$1 - (2 x)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$1 - 2 x$

Langkah 2.3

Susun kembali suku-suku.

$- 2 x + 1$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $- 2$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 2$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 2 x + 1 = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 5.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 5.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 5.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$1 - (2 x)$

Langkah 5.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$1 - 2 x$

Langkah 5.1.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 2 x + 1$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 x + 1$ .

$- 2 x + 1$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 2 x + 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Langkah 6.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 x = - 1$

Langkah 6.3

Bagi setiap suku pada $- 2 x = - 1$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagilah setiap suku di $- 2 x = - 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Langkah 6.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{1}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2$

Langkah 10

$x = \frac{1}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{1}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}) - {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Langkah 11.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{2}}$

Langkah 11.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Langkah 11.2.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}$

Langkah 11.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}$

Langkah 11.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

Langkah 11.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 - 1}{4}$

Langkah 11.2.5

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$

Langkah 11.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Langkah 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x - x^{2}$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ adalah maksimum lokal

Langkah 13