Kalkulus Contoh

$f (x) = x + \frac{96}{x}$ , $[6, 16]$

Langkah 1

Untuk menentukan rerata nilai fungsi, fungsinya harus kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ . Untuk menentukan apakah $f (x)$ kontinu di $[6, 16]$ atau tidak, tentukan domain dari $f (x) = x + \frac{96}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur penyebut dalam $\frac{96}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 1.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[6, 16]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x + \frac{96}{x} d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x d x + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

Langkah 7

Karena $96$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $96$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 \int_{6}^{16} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 8

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Evaluasi $\frac{1}{2} x^{2}$ pada $16$ dan pada $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} ((\frac{1}{2} \cdot 16^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

Langkah 9.1.2

Evaluasi $\ln (| x |)$ pada $16$ dan pada $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 16^{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Naikkan $16$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 256 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.1.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $256$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{256}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.1.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $256$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $256$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.1.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.1.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.1.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{128}{1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.1.3.3.2.4

Bagilah $128$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.1.3.4

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 36 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.1.3.5

Kalikan $36$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 36 (\frac{1}{2}) + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.1.3.6

Gabungkan $- 36$ dan $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 36}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.1.3.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 36$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.7.1

Faktorkan $2$ dari $- 36$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.1.3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.1.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.1.3.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 18}{1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.1.3.7.2.4

Bagilah $- 18$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 18 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.1.3.8

Kurangi $18$ dengan $128$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Langkah 9.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{| 16 |}{| 6 |}))$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $16$ adalah $16$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{| 6 |}))$

Langkah 9.3.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $6$ adalah $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{6}))$

Langkah 9.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 (8)}{6}))$

Langkah 9.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

Langkah 9.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

Langkah 9.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

Langkah 10

Kurangi $6$ dengan $16$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

Langkah 11

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan $96 \ln (\frac{8}{3})$ dengan memindahkan $96$ ke dalam logaritma.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln ({(\frac{8}{3})}^{96}))$

Langkah 11.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}}))$

Langkah 12

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sifat distributif.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot 110 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Langkah 12.2

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Faktorkan $10$ dari $110$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (11)) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Langkah 12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 \cdot 11) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Langkah 12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 11 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Langkah 13

Sederhanakan $\frac{1}{10} \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$ dengan memindahkan $\frac{1}{10}$ ke dalam logaritma.

$A (x) = 11 + \ln ({(\frac{8^{96}}{3^{96}})}^{\frac{1}{10}})$

Langkah 14

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{8^{96}}{3^{96}}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{{(8^{96})}^{\frac{1}{10}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Langkah 14.2

Kalikan eksponen dalam ${(8^{96})}^{\frac{1}{10}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{96 (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Langkah 14.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $96$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 (48) (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Langkah 14.2.2.2

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Langkah 14.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Langkah 14.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{48 (\frac{1}{5})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Langkah 14.2.3

Gabungkan $48$ dan $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Langkah 14.3

Kalikan eksponen dalam ${(3^{96})}^{\frac{1}{10}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{96 (\frac{1}{10})}})$

Langkah 14.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $96$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 (48) (\frac{1}{10})}})$

Langkah 14.3.2.2

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

Langkah 14.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

Langkah 14.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{48 (\frac{1}{5})}})$

Langkah 14.3.3

Gabungkan $48$ dan $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{\frac{48}{5}}})$

Langkah 15