Kalkulus Contoh

$y = \sin (x + \frac{π}{2})$

Langkah 1

Tulis $y = \sin (x + \frac{π}{2})$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + \frac{π}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + \frac{π}{2}$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \frac{π}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{π}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π}{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $\cos (x + \frac{π}{2})$ dengan $1$ .

$\cos (x + \frac{π}{2})$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \frac{π}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

Langkah 3.2.3

Karena $\frac{π}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π}{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Langkah 3.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2})$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\cos (x + \frac{π}{2}) = 0$

Langkah 5

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Langkah 7

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kurangkan $\frac{π}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 7.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π - π}{2}$

Langkah 7.3

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$x = \frac{0}{2}$

Langkah 7.4

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x = 0$

Langkah 8

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 9

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 9.1.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 9.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 9.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 9.1.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Langkah 9.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kurangkan $\frac{π}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 9.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{3 π - π}{2}$

Langkah 9.2.3

Kurangi $π$ dengan $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Langkah 9.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2 π}{2}$

Langkah 9.2.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$x = π$

Langkah 10

Penyelesaian untuk persamaan $x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = 0, π$

Langkah 11

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \sin ((0) + \frac{π}{2})$

Langkah 12

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tambahkan $0$ dan $\frac{π}{2}$ .

$- \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 12.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 13

$x = 0$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 14

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \sin ((0) + \frac{π}{2})$

Langkah 14.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Tambahkan $0$ dan $\frac{π}{2}$ .

$f (0) = \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 14.2.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (0) = 1$

Langkah 14.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 15

Evaluasi turunan kedua pada $x = π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \sin ((π) + \frac{π}{2})$

Langkah 16

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Langkah 16.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Langkah 16.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Langkah 16.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$- \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Langkah 16.3.2

Tambahkan $2 π$ dan $π$ .

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 16.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Langkah 16.6

Kalikan $- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- - 1$

Langkah 16.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1$

Langkah 17

$x = π$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = π$ adalah minimum lokal

Langkah 18

Tentukan nilai y ketika $x = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Ganti variabel $x$ dengan $π$ pada pernyataan tersebut.

$f (π) = \sin ((π) + \frac{π}{2})$

Langkah 18.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Langkah 18.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Langkah 18.2.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (π) = \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Langkah 18.2.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$f (π) = \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Langkah 18.2.3.2

Tambahkan $2 π$ dan $π$ .

$f (π) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 18.2.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (π) = - \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 18.2.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

Langkah 18.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (π) = - 1$

Langkah 18.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$y = - 1$

Langkah 19

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$ .

$(0, 1)$ adalah maksimum lokal

$(π, - 1)$ adalah minimum lokal

Langkah 20