Kalkulus Contoh

$y = e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 1

Tulis $y = e^{2 x} - e^{x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{2 x} - e^{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Langkah 2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$2 e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 e^{2 x} - e^{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f'' (x) = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 3.2.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 3.2.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 3.2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 3.2.7

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{2 x} - e^{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 5.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 5.1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 5.1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$f' (x) = e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 5.1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 5.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 5.1.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 5.1.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 e^{2 x} - e^{x}$ .

$2 e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 e^{2 x} - e^{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

Langkah 6.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis kembali $e^{2 x}$ sebagai ${(e^{x})}^{2}$ .

$2 {(e^{x})}^{2} - e^{x} = 0$

Langkah 6.2.2

Biarkan $u = e^{x}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $e^{x}$ .

$2 u^{2} - u = 0$

Langkah 6.2.3

Faktorkan $u$ dari $2 u^{2} - u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Faktorkan $u$ dari $2 u^{2}$ .

$u (2 u) - u = 0$

Langkah 6.2.3.2

Faktorkan $u$ dari $- u$ .

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Langkah 6.2.3.3

Faktorkan $u$ dari $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (2 u - 1) = 0$

Langkah 6.2.4

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $e^{x}$ .

$e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$

Langkah 6.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

$2 e^{x} - 1 = 0$

Langkah 6.4

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 6.4.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 6.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 6.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 6.5

Atur $2 e^{x} - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Atur $2 e^{x} - 1$ sama dengan $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Langkah 6.5.2

Selesaikan $2 e^{x} - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 e^{x} = 1$

Langkah 6.5.2.2

Bagi setiap suku pada $2 e^{x} = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 e^{x} = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 6.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 6.5.2.2.2.1.2

Bagilah $e^{x}$ dengan $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Langkah 6.5.2.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Langkah 6.5.2.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.4.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Langkah 6.5.2.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Langkah 6.5.2.4.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Langkah 6.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$ benar.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = \ln (\frac{1}{2})$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$4 e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Sederhanakan $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$4 e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Langkah 10.1.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$4 {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Langkah 10.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Langkah 10.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Langkah 10.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Langkah 10.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Langkah 10.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Langkah 10.1.7

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$1 - \frac{1}{2}$

Langkah 10.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 10.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 - 1}{2}$

Langkah 10.2.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 11

$x = \ln (\frac{1}{2})$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \ln (\frac{1}{2})$ adalah minimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = \ln (\frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $\ln (\frac{1}{2})$ pada pernyataan tersebut.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Sederhanakan $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Langkah 12.2.1.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Langkah 12.2.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Langkah 12.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Langkah 12.2.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Langkah 12.2.1.6

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Langkah 12.2.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 12.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Langkah 12.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Langkah 12.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1 - 2}{4}$

Langkah 12.2.5

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{- 1}{4}$

Langkah 12.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = - \frac{1}{4}$

Langkah 12.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Langkah 13

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = e^{2 x} - e^{x}$ .

$(\ln (\frac{1}{2}), - \frac{1}{4})$ adalah minimum lokal

Langkah 14