Kalkulus Contoh

$f (x) = x + \cos (2 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.2.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Langkah 1.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$1 - \sin (2 x) \cdot 2$

Langkah 1.2.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$1 - 2 \sin (2 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 2 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.2.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 2.2.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Langkah 2.2.7

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

Langkah 2.3

Kurangi $4 \cos (2 x)$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$1 - 2 \sin (2 x) = 0$

Langkah 4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 \sin (2 x) = - 1$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $- 2 \sin (2 x) = - 1$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \sin (2 x) = - 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Langkah 5.2.1.2

Bagilah $\sin (2 x)$ dengan $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{- 2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Langkah 6

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Langkah 7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{π}{6}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{π}{6}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 8.3.2

Kalikan $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{6}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Langkah 8.3.2.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Langkah 9

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Langkah 10

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 10.1.2

Gabungkan $π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 10.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 10.1.4

Kurangi $π$ dengan $π \cdot 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.4.1

Susun kembali $π$ dan $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Langkah 10.1.4.2

Kurangi $π$ dengan $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Langkah 10.2

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Langkah 10.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Langkah 10.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 10.2.3.2

Kalikan $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.2.1

Kalikan $\frac{5 π}{6}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Langkah 10.2.3.2.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Langkah 11

Penyelesaian untuk persamaan $2 x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{12}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 4 \cos (2 (\frac{π}{12}))$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

Langkah 13.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Langkah 13.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 \cos (\frac{π}{6})$

Langkah 13.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \sqrt{3}$

Langkah 14

$x = \frac{π}{12}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{12}$ adalah maksimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{12}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{12}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{12}) = (\frac{π}{12}) + \cos (2 (\frac{π}{12}))$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 (6)}))$

Langkah 15.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 6}))$

Langkah 15.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (\frac{π}{6})$

Langkah 15.2.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 15.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 16

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{5 π}{12}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 4 \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

Langkah 17

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 (6)})$

Langkah 17.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 6})$

Langkah 17.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 \cos (\frac{5 π}{6})$

Langkah 17.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 4 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Langkah 17.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 17.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 (- \sqrt{3})$

Langkah 17.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$2 \sqrt{3}$

Langkah 18

$x = \frac{5 π}{12}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{5 π}{12}$ adalah minimum lokal

Langkah 19

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{5 π}{12}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{5 π}{12}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{5 π}{12}) = (\frac{5 π}{12}) + \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

Langkah 19.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)}))$

Langkah 19.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}))$

Langkah 19.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (\frac{5 π}{6})$

Langkah 19.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \cos (\frac{π}{6})$

Langkah 19.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 19.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 20

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x + \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{12}, \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ adalah maksimum lokal

$(\frac{5 π}{12}, \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ adalah minimum lokal

Langkah 21