Kalkulus Contoh

f (x) = ln (4 - ln (x))

$f (x) = \ln (4 - \ln (x))$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

$f (x) = \ln (x)$ dan

$g (x) = 4 - \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

$u$ sebagai

$4 - \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari

$\ln (u)$ terhadap

$u$ adalah

$\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan

$u$ dengan

$4 - \ln (x)$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

$4 - \ln (x)$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Langkah 1.2.2

Karena

$4$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$4$ terhadap

$x$ adalah

$0$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Langkah 1.2.3

Tambahkan

$0$ dan

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 1.2.4

Karena

$- 1$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$- \ln (x)$ terhadap

$x$ adalah

$- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 1.3

Turunan dari

$\ln (x)$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (- \frac{1}{x})$

Langkah 1.4

Kalikan

$\frac{1}{4 - \ln (x)}$ dengan

$\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{(4 - \ln (x)) x}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{1}{4 x - \ln (x) x}$

Langkah 1.5.2

Faktorkan

$x$ dari

$4 x - \ln (x) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan

$x$ dari

$4 x$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4 - \ln (x) x}$

Langkah 1.5.2.2

Faktorkan

$x$ dari

$- \ln (x) x$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4 + x (- \ln (x))}$

Langkah 1.5.2.3

Faktorkan

$x$ dari

$x \cdot 4 + x (- \ln (x))$ .

$- \frac{1}{x (4 - \ln (x))}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana

$f (x) = - 1$ dan

$g (x) = \frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x (4 - \ln (x))} + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.2

Tulis kembali

$\frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ sebagai

${(x (4 - \ln (x)))}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x (4 - \ln (x)))}^{- 1} + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

$f (x) = x^{- 1}$ dan

$g (x) = x (4 - \ln (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

$u$ sebagai

$x (4 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah

$n u^{n - 1}$ di mana

$n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan

$u$ dengan

$x (4 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = - (- {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.4

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$f'' (x) = 1 ({(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.4.2

Kalikan

${(x (4 - \ln (x)))}^{- 2}$ dengan

$1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana

$f (x) = x$ dan

$g (x) = 4 - \ln (x)$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} (4 - \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

$4 - \ln (x)$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.6.2

Karena

$4$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$4$ terhadap

$x$ adalah

$0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.6.3

Tambahkan

$0$ dan

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} (- \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.6.4

Karena

$- 1$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$- \ln (x)$ terhadap

$x$ adalah

$- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (- \frac{d}{d x} \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.7

Turunan dari

$\ln (x)$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (- \frac{1}{x}) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.8

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Gabungkan

$x$ dan

$\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- \frac{x}{x} + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.8.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- \frac{x}{x} + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.8.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 \cdot 1 + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.8.2.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.8.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + (4 - \ln (x)) \cdot 1) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.8.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.4.1

Kalikan

$4 - \ln (x)$ dengan

$1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + 4 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.8.4.2

Tambahkan

$- 1$ dan

$4$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 2.8.5

Karena

$- 1$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$- 1$ terhadap

$x$ adalah

$0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot 0$

Langkah 2.8.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.6.1

Kalikan

$\frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ dengan

$0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + 0$

Langkah 2.8.6.2

Tambahkan

${(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x))$ dan

$0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x))$

Langkah 2.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{{(x (4 - \ln (x)))}^{2}} \cdot (3 - \ln (x))$

Langkah 2.9.2

Terapkan kaidah hasil kali ke

$x (4 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}} \cdot (3 - \ln (x))$

Langkah 2.9.3

Susun kembali faktor-faktor dari

$\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}} (3 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = (3 - \ln (x)) (\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}})$

Langkah 2.9.4

Kalikan

$3 - \ln (x)$ dengan

$\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 - \ln (x)}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan

$0$ , lalu selesaikan.

$- \frac{1}{x (4 - \ln (x))} = 0$

Langkah 4

Karena tidak ada nilai dari

$x$ yang membuat turunan pertama sama dengan

$0$ , maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 5

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 6