Kalkulus Contoh

$f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} - 1}$ sebagai ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 8.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 9.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 9.3

Pindahkan ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Langkah 11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Langkah 12

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))$

Langkah 13

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Langkah 13.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x)$

Langkah 13.3

Gabungkan $\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 13.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 13.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.2

Kalikan $1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Kalikan $\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.3.2

Gabungkan.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 14.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.5

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 14.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.6

Kalikan ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.7

Faktorkan ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dari ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.7.1

Susun kembali ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dan $x$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.7.2

Faktorkan ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dari $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.7.3

Faktorkan ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dari ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 14.7.4

Faktorkan ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dari ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 14.8

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 14.9

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 14.10

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$