Kalkulus Contoh

$f (x) = \cos (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1 - e^{2 x}$ dan $g (x) = 1 + e^{2 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{2 x}] - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [- e^{2 x}] - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 5.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x} \cdot 1) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 5.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 5.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 5.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 5.7

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{3}$ sebagai $2 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ adalah $a^{u_{3}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 6.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $2 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 7

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 7.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 7.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 7.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 7.4.2

Gabungkan $\frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$ dan $\sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})$ .

$- \frac{((1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{(1 (- 2 e^{2 x}) + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.2

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{(1 (- 2 e^{2 x}) + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) + (- 2 \cdot 1 - 2 (- e^{2 x})) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.3

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{(1 (- 2 e^{2 x}) + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Kalikan $- 2 e^{2 x}$ dengan $1$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.3

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $e^{2 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.3.1

Pindahkan $e^{2 x}$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 (e^{2 x} e^{2 x}) - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x + 2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.3.3

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.5

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $e^{2 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.5.1

Pindahkan $e^{2 x}$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- (e^{2 x} e^{2 x}))) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x + 2 x})) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.5.3

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- e^{4 x})) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 2 e^{4 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.2

Gabungkan suku balikan dalam $- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 2 e^{4 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Tambahkan $- 2 e^{4 x}$ dan $2 e^{4 x}$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} + 0 - 2 e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.2.2

Tambahkan $- 2 e^{2 x}$ dan $0$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.3

Kurangi $2 e^{2 x}$ dengan $- 2 e^{2 x}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.4.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{1^{2} - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.4.2

Tulis kembali $e^{2 x}$ sebagai ${(e^{x})}^{2}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{1^{2} - {(e^{x})}^{2}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.4.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = e^{x}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 8.5.3

Kalikan $\frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$