Kalkulus Contoh

$h (t) = t^{2} {(3 t + 4)}^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ adalah $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ di mana $f (t) = t^{2}$ dan $g (t) = {(3 t + 4)}^{3}$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(3 t + 4)}^{3}] + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{3}$ dan $g (t) = 3 t + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 t + 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 t + 4$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 t + 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Langkah 3.2

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Langkah 3.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Langkah 3.5

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $4$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 + 0)) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Langkah 3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} \cdot 3) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Langkah 3.6.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + {(3 t + 4)}^{3} (2 t)$

Langkah 3.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(3 t + 4)}^{3}$ .

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + 2 \cdot {(3 t + 4)}^{3} t$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $t {(3 t + 4)}^{2}$ dari $t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + 2 {(3 t + 4)}^{3} t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $t {(3 t + 4)}^{2}$ dari $t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2})$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + 2 {(3 t + 4)}^{3} t$

Langkah 4.1.2

Faktorkan $t {(3 t + 4)}^{2}$ dari $2 {(3 t + 4)}^{3} t$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + t {(3 t + 4)}^{2} (2 (3 t + 4))$

Langkah 4.1.3

Faktorkan $t {(3 t + 4)}^{2}$ dari $t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + t {(3 t + 4)}^{2} (2 (3 t + 4))$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9) + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.2

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $t$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.3

Tulis kembali ${(3 t + 4)}^{2}$ sebagai $(3 t + 4) (3 t + 4)$ .

$t ((3 t + 4) (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.4

Perluas $(3 t + 4) (3 t + 4)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Terapkan sifat distributif.

$t (3 t (3 t + 4) + 4 (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.4.2

Terapkan sifat distributif.

$t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.4.3

Terapkan sifat distributif.

$t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$t (3 \cdot 3 t \cdot t + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.5.1.2

Kalikan $t$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1.2.1

Pindahkan $t$ .

$t (3 \cdot 3 (t \cdot t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.5.1.2.2

Kalikan $t$ dengan $t$ .

$t (3 \cdot 3 t^{2} + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.5.1.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$t (9 t^{2} + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.5.1.4

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$t (9 t^{2} + 12 t + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.5.1.5

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$t (9 t^{2} + 12 t + 12 t + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.5.1.6

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$t (9 t^{2} + 12 t + 12 t + 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.5.2

Tambahkan $12 t$ dan $12 t$ .

$t (9 t^{2} + 24 t + 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.6

Terapkan sifat distributif.

$(t (9 t^{2}) + t (24 t) + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(9 t \cdot t^{2} + t (24 t) + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.7.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(9 t \cdot t^{2} + 24 t \cdot t + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.7.3

Pindahkan $16$ ke sebelah kiri $t$ .

$(9 t \cdot t^{2} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.8

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Kalikan $t$ dengan $t^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1.1

Pindahkan $t^{2}$ .

$(9 (t^{2} t) + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.8.1.2

Kalikan $t^{2}$ dengan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$(9 (t^{2} t^{1}) + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.8.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(9 t^{2 + 1} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.8.1.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$(9 t^{3} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.8.2

Kalikan $t$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.2.1

Pindahkan $t$ .

$(9 t^{3} + 24 (t \cdot t) + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.8.2.2

Kalikan $t$ dengan $t$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Langkah 4.9

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Terapkan sifat distributif.

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 2 (3 t) + 2 \cdot 4)$

Langkah 4.9.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 6 t + 2 \cdot 4)$

Langkah 4.9.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 6 t + 8)$

Langkah 4.10

Tambahkan $9 t$ dan $6 t$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (15 t + 8)$

Langkah 4.11

Perluas $(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (15 t + 8)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$9 t^{3} (15 t) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$9 \cdot 15 t^{3} t + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.2

Kalikan $t^{3}$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.2.1

Pindahkan $t$ .

$9 \cdot 15 (t \cdot t^{3}) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.2.2

Kalikan $t$ dengan $t^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.2.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$9 \cdot 15 (t^{1} t^{3}) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$9 \cdot 15 t^{1 + 3} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.2.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$9 \cdot 15 t^{4} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.3

Kalikan $9$ dengan $15$ .

$135 t^{4} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.4

Kalikan $8$ dengan $9$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{2} t + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.6

Kalikan $t^{2}$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.6.1

Pindahkan $t$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 (t \cdot t^{2}) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.6.2

Kalikan $t$ dengan $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.6.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 (t^{1} t^{2}) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{1 + 2} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.6.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{3} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.7

Kalikan $24$ dengan $15$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.8

Kalikan $8$ dengan $24$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.9

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 t \cdot t + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.10

Kalikan $t$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.10.1

Pindahkan $t$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 (t \cdot t) + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.10.2

Kalikan $t$ dengan $t$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 t^{2} + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.11

Kalikan $16$ dengan $15$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 16 t \cdot 8$

Langkah 4.12.12

Kalikan $8$ dengan $16$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 128 t$

Langkah 4.13

Tambahkan $72 t^{3}$ dan $360 t^{3}$ .

$135 t^{4} + 432 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 128 t$

Langkah 4.14

Tambahkan $192 t^{2}$ dan $240 t^{2}$ .

$135 t^{4} + 432 t^{3} + 432 t^{2} + 128 t$