Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 x^{2} + 3 \sqrt{x} + \frac{6}{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} + 3 \sqrt{x} + \frac{6}{\sqrt{x}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Langkah 2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Langkah 2.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 x + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 x + 3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.10

Gabungkan $3$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$8 x + \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.11

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Langkah 4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{6}{x^{\frac{1}{2}}}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.3

Tulis kembali $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 4.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 4.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 4.6

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 4.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 4.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 4.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Langkah 4.7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Langkah 4.8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Langkah 4.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Langkah 4.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Langkah 4.10.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Langkah 4.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Langkah 4.12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Langkah 4.13

Gabungkan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dan $x^{- 1}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Langkah 4.14

Kalikan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan $x^{- 1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.14.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Langkah 4.14.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Langkah 4.14.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Langkah 4.14.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Langkah 4.14.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.14.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Langkah 4.14.5.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Langkah 4.14.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Langkah 4.15

Pindahkan $x^{- \frac{3}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Langkah 4.16

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.17

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 6}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.18

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.19

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Langkah 4.19.2

Batalkan faktor persekutuan.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.19.3

Tulis kembali pernyataannya.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.20

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$