Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} x - \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2} x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} - \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Langkah 2.1.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 \sin (x)$

Langkah 2.2.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Langkah 2.3

Tambahkan $0$ dan $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{1}{2} - \cos (x) = 0$

Langkah 4

Kurangkan $\frac{1}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \cos (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Langkah 5.2.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\cos (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Langkah 5.3.2

Bagilah $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Langkah 6

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 8

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Langkah 9

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 9.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 9.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 9.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Langkah 9.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Langkah 10

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Langkah 11

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\sin (\frac{π}{3})$

Langkah 12

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 13

$x = \frac{π}{3}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{3}$ adalah minimum lokal

Langkah 14

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 14.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.1

Kalikan $\frac{1}{2} (\frac{π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.1.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 14.2.1.1.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 14.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 14.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 15

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{5 π}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\sin (\frac{5 π}{3})$

Langkah 16

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 16.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 17

$x = \frac{5 π}{3}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{5 π}{3}$ adalah maksimum lokal

Langkah 18

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{5 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{5 π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5 π}{3}) - \sin (\frac{5 π}{3})$

Langkah 18.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1.1

Kalikan $\frac{1}{2} (\frac{5 π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1.1.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{5 π}{3})$

Langkah 18.2.1.1.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} - \sin (\frac{5 π}{3})$

Langkah 18.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 18.2.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 18.2.1.4

Kalikan $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + 1 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 18.2.1.4.2

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dengan $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 18.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 19

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ adalah minimum lokal

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ adalah maksimum lokal

Langkah 20