Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan $\frac{10}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.2.2

Kalikan $\frac{10 x^{3}}{3}$ dengan $\frac{51}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3} \cdot 51}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $51$ dengan $10$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.2.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $510$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Faktorkan $6$ dari $510 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 (1)} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 \cdot 1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d}{d x} [\frac{85 x^{3}}{1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.2.5.2.4

Bagilah $85 x^{3}$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{3} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.2.6

Kalikan $x^{3}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [85 (x^{2} x^{3})] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.2.6.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d}{d x} [85 x^{2 + 3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.2.6.3

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.2.7

Karena $85$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $85 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $85 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$85 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$85 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.2.9

Kalikan $5$ dengan $85$ .

$425 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$425 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$425 x^{4} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$425 x^{4} + 5 + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$425 x^{4} + 5 + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $425 x^{4} + 5$ dan $0$ .

$425 x^{4} + 5$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $425 x^{4} + 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [425 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (425 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [425 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $425$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $425 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $425 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 425 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (5)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f'' (x) = 425 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (5)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $4$ dengan $425$ .

$f'' (x) = 1700 x^{3} + \frac{d}{d x} (5)$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 1700 x^{3} + 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $1700 x^{3}$ dan $0$ .

$f'' (x) = 1700 x^{3}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$425 x^{4} + 5 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Gabungkan $\frac{10}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $\frac{10 x^{3}}{3}$ dengan $\frac{51}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3} \cdot 51}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $51$ dengan $10$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $510$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.5.1

Faktorkan $6$ dari $510 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.5.2.1

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 (1)} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 \cdot 1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d}{d x} [\frac{85 x^{3}}{1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.2.5.2.4

Bagilah $85 x^{3}$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{3} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.2.6

Kalikan $x^{3}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [85 (x^{2} x^{3})] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.2.6.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d}{d x} [85 x^{2 + 3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.2.6.3

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.2.7

Karena $85$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $85 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $85 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$85 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$85 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.2.9

Kalikan $5$ dengan $85$ .

$425 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$425 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$425 x^{4} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$425 x^{4} + 5 + \frac{d}{d x} [16]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$425 x^{4} + 5 + 0$

Langkah 4.1.4.2

Tambahkan $425 x^{4} + 5$ dan $0$ .

$f' (x) = 425 x^{4} + 5$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $425 x^{4} + 5$ .

$425 x^{4} + 5$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $425 x^{4} + 5 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$425 x^{4} + 5 = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$425 x^{4} = - 5$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $425 x^{4} = - 5$ dengan $425$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $425 x^{4} = - 5$ dengan $425$ .

$\frac{425 x^{4}}{425} = \frac{- 5}{425}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $425$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{425 x^{4}}{425} = \frac{- 5}{425}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $x^{4}$ dengan $1$ .

$x^{4} = \frac{- 5}{425}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 5$ dan $425$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Faktorkan $5$ dari $- 5$ .

$x^{4} = \frac{5 (- 1)}{425}$

Langkah 5.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Faktorkan $5$ dari $425$ .

$x^{4} = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 85}$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{4} = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 85}$

Langkah 5.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{4} = \frac{- 1}{85}$

Langkah 5.3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x^{4} = - \frac{1}{85}$

Langkah 5.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Langkah 5.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Langkah 5.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Langkah 5.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$1700 {(\sqrt[4]{- \frac{1}{85}})}^{3}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali ${\sqrt[4]{- \frac{1}{85}}}^{3}$ sebagai $\sqrt[4]{{(- \frac{1}{85})}^{3}}$ .

$1700 \sqrt[4]{{(- \frac{1}{85})}^{3}}$

Langkah 9.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{85}$ .

$1700 \sqrt[4]{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{85})}^{3}}$

Langkah 9.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$1700 \sqrt[4]{- {(\frac{1}{85})}^{3}}$

Langkah 9.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{85}$ .

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1^{3}}{85^{3}}}$

Langkah 9.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1}{85^{3}}}$

Langkah 9.6

Naikkan $85$ menjadi pangkat $3$ .

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1}{614125}}$

Langkah 10

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, \infty)$

Langkah 10.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0$ , dari interval $(- \infty, \infty)$ dalam turunan pertama $425 x^{4} + 5$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = 425 {(0)}^{4} + 5$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = 425 \cdot 0 + 5$

Langkah 10.2.2.1.2

Kalikan $425$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 + 5$

Langkah 10.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $5$ .

$f' (0) = 5$

Langkah 10.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $5$ .

$5$

Langkah 10.3

Tidak ada maksimum atau minimum lokal yang ditemukan untuk $f (x) = \frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$ .

Tidak ada maksimum atau minimum lokal

Langkah 11