Kalkulus Contoh

$C (x) = 375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Langkah 1.1.2

Karena $375$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $375$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $0.75$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ terhadap $x$ adalah $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

Langkah 1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Langkah 1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

Langkah 1.2.6.2

Kurangi $4$ dengan $3$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

Langkah 1.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

Langkah 1.2.8

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Langkah 1.2.9

Gabungkan $0.75$ dan $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

Langkah 1.2.10

Kalikan $3$ dengan $0.75$ .

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Langkah 1.2.11

Pindahkan $x^{- \frac{1}{4}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tambahkan $0$ dan $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 1.3.2

Faktorkan $2.25$ dari $2.25$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 1.3.3

Faktorkan $4$ dari $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

Langkah 1.3.4

Pisahkan pecahan.

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 1.3.5

Bagilah $2.25$ dengan $4$ .

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 1.3.6

Gabungkan $0.5625$ dan $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $0.5625$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ terhadap $x$ adalah $0.5625 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}]$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})$

Langkah 2.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ sebagai ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1})$

Langkah 2.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{4} \cdot - 1})$

Langkah 2.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $- 1$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{4}})$

Langkah 2.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{4}})$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1})$

Langkah 2.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Langkah 2.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{4}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Langkah 2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Langkah 2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

Langkah 2.7.2

Kurangi $4$ dengan $- 1$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}})$

Langkah 2.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}})$

Langkah 2.9

Gabungkan $x^{- \frac{5}{4}}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4})$

Langkah 2.10

Kalikan $- 1$ dengan $0.5625$ .

$C'' (x) = - 0.5625 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Langkah 2.11

Gabungkan $- 0.5625$ dan $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ .

$C'' (x) = \frac{- 0.5625 x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Langkah 2.12

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1

Pindahkan $x^{- \frac{5}{4}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$C'' (x) = \frac{- 0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Langkah 2.12.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$C'' (x) = - \frac{0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Langkah 4.1.1.2

Karena $375$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $375$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $0.75$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ terhadap $x$ adalah $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

Langkah 4.1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Langkah 4.1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Langkah 4.1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Langkah 4.1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

Langkah 4.1.2.6.2

Kurangi $4$ dengan $3$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

Langkah 4.1.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

Langkah 4.1.2.8

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Langkah 4.1.2.9

Gabungkan $0.75$ dan $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

Langkah 4.1.2.10

Kalikan $3$ dengan $0.75$ .

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Langkah 4.1.2.11

Pindahkan $x^{- \frac{1}{4}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 4.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Tambahkan $0$ dan $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 4.1.3.2

Faktorkan $2.25$ dari $2.25$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 4.1.3.3

Faktorkan $4$ dari $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

Langkah 4.1.3.4

Pisahkan pecahan.

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 4.1.3.5

Bagilah $2.25$ dengan $4$ .

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 4.1.3.6

Gabungkan $0.5625$ dan $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$f' (x) = \frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $C (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$0.5625 = 0$

Langkah 5.3

Karena $0.5625 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x^{1}}}$

Langkah 6.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$

Langkah 6.2

Atur penyebut dalam $\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt[4]{x} = 0$

Langkah 6.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Untuk menghapus akar di sisi kiri persamaan, pangkatkan kedua sisi persamaan ke pangkat $4$ .

${\sqrt[4]{x}}^{4} = 0^{4}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[4]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{4}}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Langkah 6.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Langkah 6.3.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Langkah 6.3.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} = 0^{4}$

Langkah 6.3.2.2.1.2

Sederhanakan.

$x = 0^{4}$

Langkah 6.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x = 0$

Langkah 6.4

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt[4]{x}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x < 0$

Langkah 6.5

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{0.5625}{4 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{4}$ .

$- \frac{0.5625}{4 {(0^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Langkah 9.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{5}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0}$

Langkah 9.3.2

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$- \frac{0.5625}{0}$

Langkah 9.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$- \frac{0.5625}{0}$

Langkah 9.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 10

Karena uji turunan pertama tidak berhasil, maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 11