Kalkulus Contoh

$f (t) = 2 \cos (t) + \sin (2 t)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \cos (t) + \sin (2 t)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [2 \cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [2 \cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d t} [2 \cos (t)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 \cos (t)$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\cos (t)$ terhadap $t$ adalah $- \sin (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (t) + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \sin (t)$ dan $g (t) = 2 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 t$ .

$- 2 \sin (t) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 1.3.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 1.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) (2 \cdot 1)$

Langkah 1.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) \cdot 2$

Langkah 1.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 t)$ .

$- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [- 2 \sin (t)] + \frac{d}{d t} [2 \cos (2 t)]$ .

$f'' (t) = \frac{d}{d t} (- 2 \sin (t)) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d t} [- 2 \sin (t)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 2 \sin (t)$ terhadap $t$ adalah $- 2 \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$f'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} \sin (t) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (t)$ terhadap $t$ adalah $\cos (t)$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [2 \cos (2 t)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 \cos (2 t)$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 \frac{d}{d t} (\cos (2 t))$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \cos (t)$ dan $g (t) = 2 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 t$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d t} (2 t))$

Langkah 2.3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d t} (2 t))$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} (2 t))$

Langkah 2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} (t)))$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

Langkah 2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) \cdot 2)$

Langkah 2.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- 2 \sin (2 t))$

Langkah 2.3.7

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) - 4 \sin (2 t)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t) = 0$

Langkah 4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 \sin (t) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Langkah 4.2

Terapkan sifat distributif.

$- 2 \sin (t) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Langkah 4.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 2 \sin (t) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Langkah 4.4

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Langkah 5

Faktorkan $- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 \sin (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Langkah 5.1.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 (1) - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Langkah 5.1.3

Faktorkan $2$ dari $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Langkah 5.1.4

Faktorkan $2$ dari $2 (- \sin (t)) + 2 (1)$ .

$2 (- \sin (t) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Langkah 5.1.5

Faktorkan $2$ dari $2 (- \sin (t) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t))$ .

$2 (- \sin (t) + 1 - 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Susun kembali suku-suku.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) - \sin (t) + 1) = 0$

Langkah 5.2.1.2

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \sin (t)$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (t) - \sin (t) + 1) = 0$

Langkah 5.2.1.2.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $1$ ditambah $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + (1 - 2) \sin (t) + 1) = 0$

Langkah 5.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + 1 \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Langkah 5.2.1.2.4

Kalikan $\sin (t)$ dengan $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Langkah 5.2.1.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Langkah 5.2.1.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$2 (\sin (t) (- 2 \sin (t) + 1) + 1 (- 2 \sin (t) + 1)) = 0$

Langkah 5.2.1.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- 2 \sin (t) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1)) = 0$

Langkah 5.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 (- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1) = 0$

Langkah 6

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$- 2 \sin (t) + 1 = 0$

$\sin (t) + 1 = 0$

Langkah 7

Atur $- 2 \sin (t) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $- 2 \sin (t) + 1$ sama dengan $0$ .

$- 2 \sin (t) + 1 = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $- 2 \sin (t) + 1 = 0$ untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 \sin (t) = - 1$

Langkah 7.2.2

Bagi setiap suku pada $- 2 \sin (t) = - 1$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \sin (t) = - 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (t)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Langkah 7.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \sin (t)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Langkah 7.2.2.2.1.2

Bagilah $\sin (t)$ dengan $1$ .

$\sin (t) = \frac{- 1}{- 2}$

Langkah 7.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

Langkah 7.2.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $t$ dari dalam sinus.

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}$

Langkah 7.2.5

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$t = π - \frac{π}{6}$

Langkah 7.2.6

Sederhanakan $π - \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 7.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 7.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 7.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.3.1

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $π$ .

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Langkah 7.2.6.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{6}$

Langkah 7.2.7

Penyelesaian untuk persamaan $t = \frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Langkah 8

Atur $\sin (t) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur $\sin (t) + 1$ sama dengan $0$ .

$\sin (t) + 1 = 0$

Langkah 8.2

Selesaikan $\sin (t) + 1 = 0$ untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sin (t) = - 1$

Langkah 8.2.2

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $t$ dari dalam sinus.

$t = \arcsin (- 1)$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- 1)$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$t = - \frac{π}{2}$

Langkah 8.2.4

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 8.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.5.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 8.2.5.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Langkah 8.2.6

Penyelesaian untuk persamaan $t = - \frac{π}{2}$ .

$t = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 9

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 (- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1) = 0$ benar.

$t = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $t = \frac{π}{6}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \cos (\frac{π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Langkah 11.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Langkah 11.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Langkah 11.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Langkah 11.1.3

Tulis kembali $- 1 \sqrt{3}$ sebagai $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Langkah 11.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Langkah 11.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Langkah 11.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 11.1.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 11.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$- \sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 11.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 11.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Langkah 11.2

Kurangi $2 \sqrt{3}$ dengan $- \sqrt{3}$ .

$- 3 \sqrt{3}$

Langkah 12

$t = \frac{π}{6}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$t = \frac{π}{6}$ adalah maksimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $t = \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $t$ dengan $\frac{π}{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{6}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Langkah 13.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Langkah 13.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Langkah 13.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Langkah 13.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Langkah 13.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 13.2.1.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.2.2

Untuk menuliskan $\sqrt{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.3.1

Gabungkan $\sqrt{3}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.4.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.2.4.2

Tambahkan $2 \sqrt{3}$ dan $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.2.5

Jawaban akhirnya adalah $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Langkah 14

Evaluasi turunan kedua pada $t = \frac{5 π}{6}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 15

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6})) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 15.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 15.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 15.1.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 15.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 15.1.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 (- \sqrt{3}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 15.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 15.1.5

Kalikan $\sqrt{3}$ dengan $1$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 15.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.6.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Langkah 15.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Langkah 15.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Langkah 15.1.7

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$\sqrt{3} - 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Langkah 15.1.8

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 15.1.9

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.9.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$\sqrt{3} - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 15.1.9.2

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 15.1.9.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 15.1.9.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{3} - 2 (- \sqrt{3})$

Langkah 15.1.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 15.2

Tambahkan $\sqrt{3}$ dan $2 \sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

Langkah 16

$t = \frac{5 π}{6}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$t = \frac{5 π}{6}$ adalah minimum lokal

Langkah 17

Tentukan nilai y ketika $t = \frac{5 π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti variabel $t$ dengan $\frac{5 π}{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 17.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 17.2.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 17.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 17.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 17.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Langkah 17.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Langkah 17.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Langkah 17.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (\frac{5 π}{3})$

Langkah 17.2.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 17.2.1.6

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.2.2

Untuk menuliskan $- \sqrt{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.3.1

Gabungkan $- \sqrt{3}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.2.4.2

Kurangi $\sqrt{3}$ dengan $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Langkah 18

Evaluasi turunan kedua pada $t = - \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \cos (- \frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Langkah 19

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- 2 \cos (\frac{3 π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Langkah 19.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- 2 \cos (\frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Langkah 19.1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$- 2 \cdot 0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Langkah 19.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Langkah 19.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Langkah 19.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Langkah 19.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0 - 4 \sin (- π)$

Langkah 19.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$0 - 4 \sin (0)$

Langkah 19.1.7

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Langkah 19.1.8

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$0 + 0$

Langkah 19.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0$

Langkah 20

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $t$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Langkah 20.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 4$ , dari interval $(- \infty, - \frac{π}{2})$ dalam turunan pertama $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1

Ganti variabel $t$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 4) = - 2 \sin (- 4) + 2 \cos (2 (- 4))$

Langkah 20.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.2.1.1

Evaluasi $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 2 \cdot 0.75680249 + 2 \cos (2 (- 4))$

Langkah 20.2.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $0.75680249$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (2 (- 4))$

Langkah 20.2.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (- 8)$

Langkah 20.2.2.1.4

Evaluasi $\cos (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

Langkah 20.2.2.1.5

Kalikan $2$ dengan $- 0.14550003$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 - 0.29100006$

Langkah 20.2.2.2

Kurangi $0.29100006$ dengan $- 1.51360499$ .

$f' (- 4) = - 1.80460505$

Langkah 20.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1.80460505$ .

$- 1.80460505$

Langkah 20.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0$ , dari interval $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ dalam turunan pertama $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.3.1

Ganti variabel $t$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = - 2 \sin (0) + 2 \cos (2 (0))$

Langkah 20.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.3.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 2 \cos (2 (0))$

Langkah 20.3.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (2 (0))$

Langkah 20.3.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

Langkah 20.3.2.1.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Langkah 20.3.2.1.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Langkah 20.3.2.2

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$f' (0) = 2$

Langkah 20.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 20.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $2$ , dari interval $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ dalam turunan pertama $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.4.1

Ganti variabel $t$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = - 2 \sin (2) + 2 \cos (2 (2))$

Langkah 20.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.4.2.1.1

Evaluasi $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 2 \cdot 0.90929742 + 2 \cos (2 (2))$

Langkah 20.4.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (2 (2))$

Langkah 20.4.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (4)$

Langkah 20.4.2.1.4

Evaluasi $\cos (4)$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cdot - 0.65364362$

Langkah 20.4.2.1.5

Kalikan $2$ dengan $- 0.65364362$ .

$f' (2) = - 1.81859485 - 1.30728724$

Langkah 20.4.2.2

Kurangi $1.30728724$ dengan $- 1.81859485$ .

$f' (2) = - 3.12588209$

Langkah 20.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3.12588209$ .

$- 3.12588209$

Langkah 20.5

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $4$ , dari interval $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ dalam turunan pertama $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.5.1

Ganti variabel $t$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = - 2 \sin (4) + 2 \cos (2 (4))$

Langkah 20.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.5.2.1.1

Evaluasi $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 2 \cdot - 0.75680249 + 2 \cos (2 (4))$

Langkah 20.5.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (2 (4))$

Langkah 20.5.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (8)$

Langkah 20.5.2.1.4

Evaluasi $\cos (8)$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

Langkah 20.5.2.1.5

Kalikan $2$ dengan $- 0.14550003$ .

$f' (4) = 1.51360499 - 0.29100006$

Langkah 20.5.2.2

Kurangi $0.29100006$ dengan $1.51360499$ .

$f' (4) = 1.22260492$

Langkah 20.5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.22260492$ .

$1.22260492$

Langkah 20.6

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $7$ , dari interval $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ dalam turunan pertama $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.6.1

Ganti variabel $t$ dengan $7$ pada pernyataan tersebut.

$f' (7) = - 2 \sin (7) + 2 \cos (2 (7))$

Langkah 20.6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.6.2.1.1

Evaluasi $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 2 \cdot 0.65698659 + 2 \cos (2 (7))$

Langkah 20.6.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $0.65698659$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (2 (7))$

Langkah 20.6.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (14)$

Langkah 20.6.2.1.4

Evaluasi $\cos (14)$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cdot 0.13673721$

Langkah 20.6.2.1.5

Kalikan $2$ dengan $0.13673721$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 0.27347443$

Langkah 20.6.2.2

Tambahkan $- 1.31397319$ dan $0.27347443$ .

$f' (7) = - 1.04049876$

Langkah 20.6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1.04049876$ .

$- 1.04049876$

Langkah 20.7

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $t = - \frac{π}{2}$ , maka $t = - \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal.

$t = - \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 20.8

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $t = \frac{π}{6}$ , maka $t = \frac{π}{6}$ adalah maksimum lokal.

$t = \frac{π}{6}$ adalah maksimum lokal

Langkah 20.9

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $t = \frac{5 π}{6}$ , maka $t = \frac{5 π}{6}$ adalah minimum lokal.

$t = \frac{5 π}{6}$ adalah minimum lokal

Langkah 20.10

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $t = \frac{3 π}{2}$ , maka $t = \frac{3 π}{2}$ adalah maksimum lokal.

$t = \frac{3 π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 20.11

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (t) = 2 \cos (t) + \sin (2 t)$ .

$t = - \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

$t = \frac{π}{6}$ adalah maksimum lokal

$t = \frac{5 π}{6}$ adalah minimum lokal

$t = \frac{3 π}{2}$ adalah maksimum lokal

$t = - \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

$t = \frac{π}{6}$ adalah maksimum lokal

$t = \frac{5 π}{6}$ adalah minimum lokal

$t = \frac{3 π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 21