Kalkulus Contoh

$x^{2} e^{x}$

Langkah 1

Tulis $x^{2} e^{x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Susun kembali suku-suku.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Langkah 2.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x e^{x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Langkah 3.3.5

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $e^{x} (2 x)$ dan $2 x e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Pindahkan $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Langkah 3.4.2.2

Tambahkan $2 x e^{x}$ dan $2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Langkah 3.4.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Langkah 3.4.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 5.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Langkah 5.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Langkah 5.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Langkah 6.2

Faktorkan $x e^{x}$ dari $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $x e^{x}$ dari $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Langkah 6.2.2

Faktorkan $x e^{x}$ dari $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Langkah 6.2.3

Faktorkan $x e^{x}$ dari $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Langkah 6.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 6.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 6.5

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 6.5.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 6.5.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 6.5.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 6.6

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 6.6.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 6.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x e^{x} (x + 2) = 0$ benar.

$x = 0, - 2$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0, - 2$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

${(0)}^{2} e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Langkah 10.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Langkah 10.1.3

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$0 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Langkah 10.1.4

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{0}$

Langkah 10.1.5

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Langkah 10.1.6

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Langkah 10.1.7

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Langkah 10.1.8

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$0 + 0 + 2$

Langkah 10.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + 2$

Langkah 10.2.2

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$2$

Langkah 11

$x = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{0}$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Langkah 12.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Langkah 12.2.3

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$f (0) = 0$

Langkah 12.2.4

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 2$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

${(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$4 e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Langkah 14.1.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Langkah 14.1.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Langkah 14.1.4

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Langkah 14.1.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Langkah 14.1.6

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Langkah 14.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Langkah 14.1.8

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Langkah 14.1.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Langkah 14.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Langkah 14.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1

Kurangi $8$ dengan $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Langkah 14.2.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Langkah 14.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Langkah 15

$x = - 2$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 2$ adalah maksimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 2) = 4 e^{- 2}$

Langkah 16.2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}})$

Langkah 16.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

Langkah 16.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{4}{e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{e^{2}}$

Langkah 17

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x^{2} e^{x}$ .

$(0, 0)$ adalah minimum lokal

$(- 2, \frac{4}{e^{2}})$ adalah maksimum lokal

Langkah 18