Kalkulus Contoh

$v (t) = 3 t \sqrt{9 - t^{2}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{9 - t^{2}}$ sebagai ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [3 t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ adalah $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ di mana $f (t) = t$ dan $g (t) = {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (t \frac{d}{d t} [{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ dan $g (t) = 9 - t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $9 - t^{2}$ .

$3 (t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $9 - t^{2}$ .

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (t (\frac{{(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 8.3

Pindahkan ${(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (t (\frac{1}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 8.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $t$ .

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}] + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 - t^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 10

Karena $9$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $9$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 11

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 12

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t^{2}$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t)) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 14

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 14.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 (\frac{- 2 t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 14.3

Gabungkan $\frac{- 2 t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $t$ .

$3 (\frac{- 2 t \cdot t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 15

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$3 (\frac{- 2 (t^{1} t)}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 16

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$3 (\frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 17

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 (\frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 18

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$3 (\frac{- 2 t^{2}}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 19

Faktorkan $2$ dari $- 2 t^{2}$ .

$3 (\frac{2 (- t^{2})}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 20

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{2 (- t^{2})}{2 ({(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 20.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (\frac{2 (- t^{2})}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 20.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (\frac{- t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 21

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 22

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Langkah 23

Kalikan ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 24

Untuk menuliskan ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 25

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 26

Kalikan ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 26.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 26.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 26.4

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{1}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27

Sederhanakan ${(9 - t^{2})}^{1}$ .

$3 \frac{- t^{2} + 9 - t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 28

Kurangi $t^{2}$ dengan $- t^{2}$ .

$3 \frac{- 2 t^{2} + 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 29

Gabungkan $3$ dan $\frac{- 2 t^{2} + 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (- 2 t^{2} + 9)}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 30

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 30.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 (- 2 t^{2}) + 3 \cdot 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 30.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 30.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 3 \cdot 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 30.2.2

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 27}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 30.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 6 t^{2} + 27}{{(- t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$