Kalkulus Contoh

$y^{2} = \frac{1}{1 - x^{2}}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 - x^{2}})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali $\frac{1}{1 - x^{2}}$ sebagai ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Langkah 3.3.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Langkah 3.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 3.3.5

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3.5.2

Kalikan ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ dengan $1$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Langkah 3.3.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

Langkah 3.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Langkah 3.5.1.2

Gabungkan $\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ dengan $2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ dengan $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Langkah 5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Langkah 5.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gabungkan.

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (y)}$

Langkah 5.3.2.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2} y}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2} y}$

Langkah 5.3.3.2

Susun kembali $- x^{2}$ dan $1^{2}$ .

$y' = \frac{x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2} y}$

Langkah 5.3.3.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$y' = \frac{x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2} y}$

Langkah 5.3.3.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $(1 + x) (1 - x)$ .

$y' = \frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$

Langkah 5.3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$