Kalkulus Contoh

$\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $x$ dari $x^{5} - x^{3} + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{5}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

Langkah 4.1.2

Faktorkan $x$ dari $- x^{3}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + 2 x}{x^{4}} d x$

Langkah 4.1.3

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

Langkah 4.1.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

Langkah 4.1.5

Faktorkan $x$ dari $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x^{4}} d x$

Langkah 4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{x^{4} - x^{2} + 2}{x^{3}} d x$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan $x^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Langkah 5.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{3 \cdot - 1} d x$

Langkah 5.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3} d x$

Langkah 6

Perluas $(x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\int (x^{4} - x^{2}) x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$\int x^{4} x^{- 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Langkah 6.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int x^{4 - 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Langkah 6.4

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$\int x^{1} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$\int x - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Langkah 6.6

Buang faktor negatif.

$\int x - (x^{2} x^{- 3}) + 2 x^{- 3} d x$

Langkah 6.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int x - x^{2 - 3} + 2 x^{- 3} d x$

Langkah 6.8

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\int x - x^{- 1} + 2 x^{- 3} d x$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x d x + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Langkah 10

Integral dari $x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + \int 2 x^{- 3} d x$

Langkah 11

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int x^{- 3} d x$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Gabungkan $x^{- 2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Langkah 13.1.2

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Langkah 13.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Langkah 13.3.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 2}{2 x^{2}} + C$

Langkah 13.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

Langkah 13.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2})} + C$

Langkah 13.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

Langkah 13.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 1}{x^{2}} + C$

Langkah 13.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$

Langkah 14

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$