Kalkulus Contoh

${(x + \frac{1}{x})}^{2}$

Langkah 1

Tulis ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = {(x + \frac{1}{x})}^{2}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int {(x + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ sebagai $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ .

$\int (x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) d x$

Langkah 4.2

Perluas $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\int x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Langkah 4.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\int x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Langkah 4.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\int x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\int x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.1.4

Kalikan $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.4.1

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Langkah 4.3.1.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Langkah 4.3.1.4.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Langkah 4.3.1.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Langkah 4.3.1.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x^{2} d x + \int 2 d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 2 d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 7

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 8

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 8.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 8.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int x^{- 2} d x$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C - x^{- 1} + C$

Langkah 10

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1} + C$

Langkah 11

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = {(x + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1} + C$