Kalkulus Contoh

$\sin^{5} (x)$

Langkah 1

Tulis $\sin^{5} (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sin^{5} (x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \sin^{5} (x) d x$

Langkah 4

Faktorkan $\sin^{4} (x)$ .

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Langkah 5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Langkah 5.2

Tulis kembali ${\sin (x)}^{2 (2)}$ sebagai eksponensiasi.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Langkah 6

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sin^{2} (x)$ sebagai $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Langkah 7

Biarkan $u = \cos (x)$ . Kemudian $d u = - \sin (x) d x$ sehingga $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 7.1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Langkah 9

Perluas ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali ${(1 - u^{2})}^{2}$ sebagai $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Langkah 9.2

Terapkan sifat distributif.

$- \int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Langkah 9.3

Terapkan sifat distributif.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Langkah 9.4

Terapkan sifat distributif.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Langkah 9.5

Pindahkan $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Langkah 9.6

Pindahkan $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Langkah 9.7

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$- \int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Langkah 9.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Langkah 9.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Langkah 9.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Langkah 9.11

Kalikan $u^{2}$ dengan $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Langkah 9.12

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Langkah 9.13

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Langkah 9.14

Kurangi $u^{2}$ dengan $- u^{2}$ .

$- \int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Langkah 9.15

Susun kembali $- 2 u^{2}$ dan $u^{4}$ .

$- \int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Langkah 9.16

Pindahkan $1$ .

$- \int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Langkah 10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- (\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

Langkah 12

Karena $- 2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u)$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

Langkah 14

Terapkan aturan konstanta.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Langkah 15.1.2

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Langkah 15.2

Sederhanakan.

$- (\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u) + C$

Langkah 16

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$- (\frac{\cos^{5} (x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (x)}{3} + \cos (x)) + C$

Langkah 17

Susun kembali suku-suku.

$- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

Langkah 18

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \sin^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$