Kalkulus Contoh

$\arctan (\frac{x}{2})$

Langkah 1

Tulis $\arctan (\frac{x}{2})$ sebagai fungsi.

$f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \arctan (\frac{x}{2}) d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \arctan (\frac{x}{2})$ dan $d v = 1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int x \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{x^{2} + 4}$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{x \cdot 2}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)$

Langkah 7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Langkah 8

Biarkan $u = x^{2} + 4$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = x^{2} + 4$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Langkah 8.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 8.1.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 8.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 9.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 2$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 11.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 11.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 11.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 11.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 12

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$

Langkah 13

Tulis kembali $\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$ sebagai $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$ .

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 4$ .

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Langkah 15

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$