Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{4}{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{7}{x^{2}}$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{4}{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{7}{x^{2}} d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{4}{x} d x + \int \frac{6}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Langkah 4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{6}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Langkah 5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{6}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Langkah 6

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Langkah 7

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Langkah 7.2

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Langkah 7.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Langkah 7.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Langkah 7.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

Langkah 9

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 10

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 10.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 10.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int x^{- 2} d x$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 (- x^{- 1} + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan.

$4 \ln (| x |) + 12 x^{\frac{1}{2}} + 7 (- x^{- 1}) + C$

Langkah 12.2

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

$4 \ln (| x |) + 12 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{- 1} + C$

Langkah 13

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{4}{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{7}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $4 \ln (| x |) + 12 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{- 1} + C$