Kalkulus Contoh

$f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x) d x$

Langkah 3

Biarkan $u_{2} = \cot (π x)$ . Kemudian $d u_{2} = - π \csc^{2} (π x) d x$ sehingga $- \frac{1}{π} d u_{2} = \csc^{2} (π x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u_{2} = \cot (π x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $\cot (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (π x)]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cot (x)$ dan $g (x) = π x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Langkah 3.1.2.2

Turunan dari $\cot (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Langkah 3.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $π x$ .

$- \csc^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \cdot 1)$

Langkah 3.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.3.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$- \csc^{2} (π x) π$

Langkah 3.1.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- \csc^{2} (π x) π$ .

$- π \csc^{2} (π x)$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Langkah 4

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{1}{π} d u_{2}$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{π}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{π}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{π} \int - π - e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{π} (\int - π d u_{2} + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 7

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 9

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - (e^{u_{2}} + C))$

Langkah 10

Sederhanakan.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} - e^{u_{2}}) + C$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x) - e^{\cot (π x)}) + C$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x)) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Langkah 12.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Faktorkan $π$ dari $- π \cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Langkah 12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Langkah 12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \cot (π x) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Langkah 12.3

Gabungkan $\frac{1}{π}$ dan $e^{\cot (π x)}$ .

$- \cot (π x) - \frac{e^{\cot (π x)}}{π} + C$

Langkah 13

Susun kembali suku-suku.

$- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$

Langkah 14

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$ .

$F (x) =$ $- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$