Kalkulus Contoh

$g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

Langkah 1

Fungsi $G (t)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $g (t)$ .

$G (t) = \int g (t) d t$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$G (t) = \int \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}} d t$

Langkah 3

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{t}$ sebagai $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Langkah 4

Pindahkan $t^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int (1 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Langkah 5

Kalikan eksponen dalam ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Langkah 5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int (1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Langkah 6

Perluas $(1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\int (1 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$\int 1 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Langkah 6.3

Kalikan $t^{- \frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Langkah 6.4

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Langkah 6.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Langkah 6.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Langkah 6.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Langkah 6.8

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Langkah 6.9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

Langkah 6.10

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Langkah 6.11

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Langkah 6.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

Langkah 6.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.13.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

Langkah 6.13.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $t$ adalah $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{\frac{1}{2}}$ terhadap $t$ adalah $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{\frac{3}{2}}$ terhadap $t$ adalah $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 11

Sederhanakan.

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 12

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$ .

$G (t) =$ $2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$