Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Langkah 1.1.2.1.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Langkah 1.1.2.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Langkah 1.1.2.3.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Langkah 1.1.3.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Langkah 1.1.3.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Langkah 1.1.3.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Langkah 1.1.3.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Langkah 1.1.3.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}$

Langkah 1.1.3.5.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Langkah 1.1.3.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 1.1.3.5.3

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\frac{0}{2}}$

Langkah 1.1.3.5.4

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.5.5

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.6

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\sin (x) - \cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Langkah 1.3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Langkah 1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Langkah 1.3.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Langkah 1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Langkah 1.3.6

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

Langkah 1.3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (x) - \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Langkah 1.3.8

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Langkah 1.3.9

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.9.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Langkah 1.3.9.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (x) - - \sin (x)}$

Langkah 1.3.9.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (x) + 1 \sin (x)}$

Langkah 1.3.9.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan suku $- 2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (2 x)}{\cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{4}$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$- 2 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.4

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{4}$ .

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

Langkah 2.6

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

Langkah 2.7

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Langkah 3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Langkah 3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Langkah 3.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Langkah 4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Langkah 4.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Langkah 4.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 2 \frac{1}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

Langkah 4.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})}$

Langkah 4.2.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Langkah 4.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 2 \frac{1}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 4.2.4

Tulis kembali $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Tambahkan $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

$- 2 \frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 4.2.4.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.2.1

Kurangi pernyataan $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 \frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 4.2.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{1}}$

Langkah 4.2.4.2.2

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 4.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Langkah 4.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 4.4.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 4.4.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 4.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 4.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 4.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 4.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \sqrt{2}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \sqrt{2}$

Bentuk Desimal:

$- 1.41421356 \dots$