Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} {(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}}$

Langkah 1

Gunakan sifat dari logaritma untuk menyederhanakan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}}$ sebagai $e^{\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Langkah 1.2

Perluas $\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})$ dengan memindahkan $\frac{1}{x}$ ke luar logaritma.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\ln (\cos (x) + \sin (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x) + \sin (x))}{x}}$

Langkah 3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x) + \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.4

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{\frac{\ln (\cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{\frac{\ln (\cos (0) + \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.6.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.6.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.6.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.2.6.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3.1.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{\frac{0}{0}}$

Langkah 3.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{\frac{0}{0}}$

Langkah 3.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x) + \sin (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x) + \sin (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x) + \sin (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \cos (x) + \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x) + \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x) + \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (x) + \sin (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.4

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.5

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(- \sin (x) + \cos (x)) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.6.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ dan $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.6.4

Gabungkan $\cos (x)$ dan $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.6.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.6.6

Faktorkan $- 1$ dari $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x)) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.6.7

Faktorkan $- 1$ dari $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x)) - 1 \cdot - 1 \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.6.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.6.9

Tulis kembali $- (\sin (x) - \cos (x))$ sebagai $- 1 (\sin (x) - \cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 1 (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.6.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{1}}$

Langkah 3.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} \cdot 1}$

Langkah 3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}$

Langkah 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}$

Langkah 4.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Langkah 4.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Langkah 4.4

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Langkah 4.5

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Langkah 4.6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Langkah 4.7

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Langkah 4.8

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Langkah 5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Langkah 5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Langkah 5.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Langkah 5.4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Langkah 6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$e^{- \frac{0 - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Langkah 6.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$e^{- \frac{0 - 1 \cdot 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Langkah 6.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{- \frac{0 - 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Langkah 6.1.4

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$e^{- \frac{- 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$e^{- \frac{- 1}{1 + \sin (0)}}$

Langkah 6.2.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$e^{- \frac{- 1}{1 + 0}}$

Langkah 6.2.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$e^{- \frac{- 1}{1}}$

Langkah 6.3

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$e^{- - 1}$

Langkah 6.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{1}$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$e$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$e$

Bentuk Desimal:

$2.71828182 \dots$