Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} - \frac{1}{x}$

Langkah 1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menuliskan $\frac{1}{x \sqrt{1} + x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

Langkah 1.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$

Langkah 1.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x \sqrt{1} + x) x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $\frac{1}{x \sqrt{1} + x}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$

Langkah 1.3.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Langkah 1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(x \sqrt{1} + x) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x (x \sqrt{1} + x)} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Langkah 1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} x - (x \sqrt{1} + x)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Langkah 2.1.2

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0 - (0 \sqrt{1} + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1.1

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\frac{0 - (0 \cdot 1 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Langkah 2.1.2.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$\frac{0 - (0 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Langkah 2.1.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Langkah 2.1.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Langkah 2.1.2.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Langkah 2.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + x}$

Langkah 2.1.3.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 2.1.3.3

Pindahkan suku $\sqrt{1}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 2.1.3.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 2.1.3.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 2.1.3.4.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + 0)}$

Langkah 2.1.3.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.5.1.1

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 \cdot 0 + 0)}$

Langkah 2.1.3.5.1.2

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0 + 0)}$

Langkah 2.1.3.5.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Langkah 2.1.3.5.3

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.3.5.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.3.6

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \cdot 1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Langkah 2.3.3

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - (2 x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Langkah 2.3.6

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Langkah 2.3.6.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Langkah 2.3.6.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Langkah 2.3.6.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Langkah 2.3.7

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 1 + x)]}$

Langkah 2.3.8.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x + x)]}$

Langkah 2.3.9

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (2 x)]}$

Langkah 2.3.10

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x)]}$

Langkah 2.3.11

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x^{1})]}$

Langkah 2.3.12

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{1 + 1}]}$

Langkah 2.3.13

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Langkah 2.3.14

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 2.3.15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 (2 x)}$

Langkah 2.3.16

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{4 x}$

Langkah 3

Karena fungsinya mendekati $\infty$ dari kiri, tetapi $- \infty$ dari kanan, limitnya tidak ada.

$Tidak ada$