Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Langkah 1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Langkah 1.2

Pindahkan suku $\frac{1}{3}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Langkah 2

Karena $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ dan $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , terapkan Teorema Apit.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Langkah 3

Pindahkan suku $\frac{2}{3}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

Langkah 4

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 4.1.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 4.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 4.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Langkah 4.1.3.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 4.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 4.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 4.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 4.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 4.3.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 5.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 5.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 6

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Langkah 7.1.2

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (0)}$ ke $\sec (0)$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \sec (0)$

Langkah 7.1.3

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1$

Langkah 7.1.4

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Langkah 7.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 + 2}{3}$

Langkah 7.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{3}{3}$

Langkah 7.4

Bagilah $3$ dengan $3$ .

$1$