Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{2 x}$

Langkah 1

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{x}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (- \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} - \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 2.1.2.1.2

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- lim_{x \to 0} \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 2.1.2.1.3

Pindahkan suku $\frac{π}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- \frac{π}{2} lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 2.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- \frac{π}{2} \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 2.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 2.1.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 2.1.2.3.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 2.1.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (- \frac{π x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (- \frac{π x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = - \frac{π x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- \frac{π x}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- \frac{π x}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.3

Karena $- \frac{π}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{π x}{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) \cdot - 1 \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.4

Gabungkan $\cos (- \frac{π x}{2})$ dan $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Karena $\cos (- \frac{π x}{2})$ adalah sebuah fungsi genap, tulis kembali $\cos (- \frac{π x}{2})$ sebagai $\cos (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (\frac{π x}{2}) π}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.7.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\cos (\frac{π x}{2}) π$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}}{1}$

Langkah 2.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1$

Langkah 2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}$

Langkah 3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}$

Langkah 3.2

Pindahkan suku $\frac{π}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} lim_{x \to 0} \cos (\frac{π x}{2})$

Langkah 3.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (lim_{x \to 0} \frac{π x}{2})$

Langkah 3.4

Pindahkan suku $\frac{π}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 0} x)$

Langkah 4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Langkah 5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Langkah 5.3

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Langkah 5.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{π}{4} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Langkah 5.4

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $0$ .

$- \frac{π}{4} \cos (0)$

Langkah 5.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- \frac{π}{4} \cdot 1$

Langkah 5.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{π}{4}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{π}{4}$

Bentuk Desimal:

$- 0.78539816 \dots$