Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (x)}{x}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.3

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.4

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.6.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.6.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.6.4

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \sin (3 x)$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.4.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.7

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.8

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cos (x) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + 3 \cdot (\cos (x) \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.9

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)}{1}$

Langkah 1.4

Bagilah $- \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} - \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

Langkah 2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

Langkah 2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

Langkah 2.4

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

Langkah 2.5

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

Langkah 2.6

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)$

Langkah 2.7

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)$

Langkah 2.8

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)$

Langkah 2.9

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)$

Langkah 2.10

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

Langkah 3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$- \sin (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

Langkah 3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$- \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

Langkah 3.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$- \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

Langkah 3.4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$- \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$- 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

Langkah 4.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

Langkah 4.1.3

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$0 \cdot \sin (0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

Langkah 4.1.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$0 \cdot 0 + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

Langkah 4.1.5

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$0 + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

Langkah 4.1.6

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$0 + 3 \cdot 1 \cdot \cos (3 \cdot 0)$

Langkah 4.1.7

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$0 + 3 \cdot \cos (3 \cdot 0)$

Langkah 4.1.8

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$0 + 3 \cdot \cos (0)$

Langkah 4.1.9

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Langkah 4.1.10

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$0 + 3$

Langkah 4.2

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$3$