Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (2 x)}{3 x}$

Langkah 1

Pindahkan suku $\frac{1}{3}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\arctan (2 x)}{x}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \arctan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 2.1.2.2

Substitusikan $t$ untuk $2 x$ dan biarkan $t$ mendekati $0$ karena $lim_{x \to 0} 2 x = 0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \arctan (t)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 2.1.2.3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 2.1.2.3.2

Nilai eksak dari $\arctan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 2.1.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.2.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.7

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.9

Kalikan $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 4 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.10

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{4 x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{4 x^{2} + 1}}{1}$

Langkah 2.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{4 x^{2} + 1} \cdot 1$

Langkah 2.5

Kalikan $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{4 x^{2} + 1}$

Langkah 3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 x^{2} + 1}$

Langkah 3.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4 x^{2} + 1}$

Langkah 3.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x^{2} + 1}$

Langkah 3.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Langkah 3.5

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Langkah 3.6

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Langkah 3.7

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Langkah 4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 \cdot 0^{2} + 1}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $2$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4 \cdot 0^{2} + 1}$

Langkah 5.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4 \cdot 0 + 1}$

Langkah 5.2.2

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Langkah 5.2.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Langkah 5.4

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{2}{3}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2}{3}$

Bentuk Desimal:

$0.\overline{6}$