Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - \sin (x)}{x \sin (x)}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Langkah 1.1.2.2

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Langkah 1.1.2.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Langkah 1.1.2.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Langkah 1.1.2.5

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Langkah 1.1.2.6

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Langkah 1.1.2.6.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Langkah 1.1.2.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.7.1.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\ln (1) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Langkah 1.1.2.7.1.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Langkah 1.1.2.7.1.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Langkah 1.1.2.7.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Langkah 1.1.2.7.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.1.3.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.1.3.3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.1.3.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Langkah 1.1.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Langkah 1.1.3.4.2

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.4.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.5

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - \sin (x)}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\ln (1 + x) - \sin (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Langkah 1.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Langkah 1.3.3.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Langkah 1.3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Langkah 1.3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Langkah 1.3.3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Langkah 1.3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Langkah 1.3.3.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Langkah 1.3.3.6

Kalikan $\frac{1}{1 + x}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Langkah 1.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Langkah 1.3.4.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Langkah 1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.6

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Langkah 1.3.8

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.1.2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 1 + x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.1.2.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.1.2.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.1.2.5

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{\frac{1}{1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.1.2.6

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{\frac{1}{1 + lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.1.2.7

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.7.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\frac{1}{1 + 0} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.1.2.7.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\frac{1}{1 + 0} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.1.2.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.8.1.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\frac{1}{1} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.1.2.8.1.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.1.2.8.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.1.2.8.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.1.2.8.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Langkah 2.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 2.1.3.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 2.1.3.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 2.1.3.4

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 2.1.3.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 2.1.3.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 2.1.3.5.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Langkah 2.1.3.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Langkah 2.1.3.6.1.2

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$\frac{0}{0 + \sin (0)}$

Langkah 2.1.3.6.1.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Langkah 2.1.3.6.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.3.6.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.3.7

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{1 + x} - \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $\frac{1}{1 + x}$ sebagai ${(1 + x)}^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = 1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3.3.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3.3.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3.4.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3.4.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Langkah 2.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \cos (x) + \sin (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 2.3.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 2.3.7.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 2.3.7.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 2.3.7.4

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 2.3.8

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) + \cos (x)}$

Langkah 2.3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1

Tambahkan $\cos (x)$ dan $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + 2 \cos (x)}$

Langkah 2.3.9.2

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Langkah 3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Langkah 3.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Langkah 3.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{- \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Langkah 3.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{- \frac{1}{lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Langkah 3.5

Pindahkan pangkat $2$ dari ${(1 + x)}^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{- \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Langkah 3.6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Langkah 3.7

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Langkah 3.8

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Langkah 3.9

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Langkah 3.10

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Langkah 3.11

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Langkah 3.12

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 3.13

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 4.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 4.4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 4.5

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(1 + 0)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan $\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$ dengan $\frac{{(1 + 0)}^{2}}{{(1 + 0)}^{2}}$ .

$\frac{{(1 + 0)}^{2}}{{(1 + 0)}^{2}} \cdot \frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Langkah 5.1.2

Gabungkan.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} (- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0))}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0))}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} (- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}}) + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari ${(1 + 0)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} \frac{- 1}{{(1 + 0)}^{2}} + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Langkah 5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} \frac{- 1}{{(1 + 0)}^{2}} + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1 + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Langkah 5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{- 1 + 1^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Langkah 5.4.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{- 1 + 1 \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Langkah 5.4.3

Kalikan $\sin (0)$ dengan $1$ .

$\frac{- 1 + \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Langkah 5.4.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{- 1 + 0}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Langkah 5.4.5

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$\frac{- 1}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{- 1}{1^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Langkah 5.5.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{- 1}{1 \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Langkah 5.5.3

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$\frac{- 1}{0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Langkah 5.5.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{- 1}{0 \cdot 0 + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Langkah 5.5.5

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$\frac{- 1}{0 + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Langkah 5.5.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{- 1}{0 + 1^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Langkah 5.5.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{- 1}{0 + 1 \cdot 2 \cos (0)}$

Langkah 5.5.8

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{- 1}{0 + 2 \cos (0)}$

Langkah 5.5.9

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{- 1}{0 + 2 \cdot 1}$

Langkah 5.5.10

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{- 1}{0 + 2}$

Langkah 5.5.11

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$\frac{- 1}{2}$

Langkah 5.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$- 0.5$