Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} (x^{2}) \csc^{2} (x)$

Langkah 1

Tulis kembali $(x^{2}) \csc^{2} (x)$ sebagai $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Langkah 2

Buat limitnya sebagai limit kiri.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Langkah 3

Evaluasi limit kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 3.1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.1

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 3.1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 3.1.1.2.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 3.1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Langkah 3.1.1.3.2

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.1.1.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 3.1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 3.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 3.1.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = \csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Langkah 3.1.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Langkah 3.1.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Langkah 3.1.3.4

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Langkah 3.1.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Langkah 3.1.3.6

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Langkah 3.1.3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Langkah 3.1.3.8

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Langkah 3.1.3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.9.1

Tulis kembali $\csc (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Langkah 3.1.3.9.2

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Langkah 3.1.3.9.3

Tulis kembali $\cot (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 3.1.3.9.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.9.4.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 3.1.3.9.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 3.1.3.9.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Langkah 3.1.3.9.5

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

Langkah 3.2

Limit dari $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ ketika $x$ mendekati $0$ adalah $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} 2 x}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

Langkah 3.2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0^{-}} x}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

Langkah 3.2.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

Langkah 3.2.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

Langkah 3.2.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.3.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{-}} 2 x)}$

Langkah 3.2.1.3.1.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0^{-}} x)}$

Langkah 3.2.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Langkah 3.2.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.3.3.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Langkah 3.2.1.3.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.2.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.2.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 3.2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 3.2.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 3.2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 3.2.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 3.2.3.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 3.2.3.5.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 3.2.3.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 3.2.3.6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 3.2.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Langkah 3.2.3.8

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Langkah 3.2.3.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Langkah 3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Langkah 3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Langkah 3.2.5

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (2 x)}$ ke $\sec (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \sec (2 x)$

Langkah 3.2.6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\sec (lim_{x \to 0^{-}} 2 x)$

Langkah 3.2.6.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\sec (2 lim_{x \to 0^{-}} x)$

Langkah 3.2.7

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\sec (2 \cdot 0)$

Langkah 3.2.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\sec (0)$

Langkah 3.2.8.2

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$1$

Langkah 4

Buat limitnya sebagai limit kanan.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Langkah 5

Evaluasi limit kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 5.1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.1

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 5.1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 5.1.1.2.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 5.1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Langkah 5.1.1.3.2

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.1.1.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 5.1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 5.1.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = \csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Langkah 5.1.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Langkah 5.1.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Langkah 5.1.3.4

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Langkah 5.1.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Langkah 5.1.3.6

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Langkah 5.1.3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Langkah 5.1.3.8

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Langkah 5.1.3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.9.1

Tulis kembali $\csc (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Langkah 5.1.3.9.2

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Langkah 5.1.3.9.3

Tulis kembali $\cot (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 5.1.3.9.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.9.4.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 5.1.3.9.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 5.1.3.9.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Langkah 5.1.3.9.5

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

Langkah 5.2

Limit dari $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ ketika $x$ mendekati $0$ adalah $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} 2 x}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Langkah 5.2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Langkah 5.2.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Langkah 5.2.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Langkah 5.2.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}$

Langkah 5.2.1.3.1.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Langkah 5.2.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Langkah 5.2.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.3.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Langkah 5.2.1.3.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.2.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.2.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 5.2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 5.2.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 5.2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 5.2.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 5.2.3.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 5.2.3.5.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 5.2.3.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 5.2.3.6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 5.2.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Langkah 5.2.3.8

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Langkah 5.2.3.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Langkah 5.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Langkah 5.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Langkah 5.2.5

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (2 x)}$ ke $\sec (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \sec (2 x)$

Langkah 5.2.6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\sec (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)$

Langkah 5.2.6.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\sec (2 lim_{x \to 0^{+}} x)$

Langkah 5.2.7

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\sec (2 \cdot 0)$

Langkah 5.2.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.8.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\sec (0)$

Langkah 5.2.8.2

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$1$

Langkah 6

Karena limit kirinya sama dengan limit kanannya, limitnya sama dengan $1$ .

$1$