Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = - 2 x$ . Kemudian $d u = - 2 d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = - 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 2.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Langkah 2.3

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 t$

Langkah 2.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

Langkah 2.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 3.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u)$

Langkah 6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

Langkah 7

Gabungkan $e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{2}$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $e^{u}$ pada $- 2 t$ dan pada $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{2}$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{2}$

Langkah 8.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

Langkah 9

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

Langkah 9.1.2

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - 1$

Langkah 9.1.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 9.2

Karena eksponen $- 2 t$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{- 2 t}$ mendekati $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 9.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Langkah 9.3.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Langkah 9.3.2.3

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Langkah 9.3.2.3.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.5$