Kalkulus Contoh

\infty \sum n = 1 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan menggunakan rumus

\frac{a}{1 - r}

$\frac{a}{1 - r}$ di mana

a

$a$ adalah suku pertama dan

r

$r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus

r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

$r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan

a_{n}

$a_{n}$ dan

a_{n + 1}

$a_{n + 1}$ ke dalam rumus untuk

r

$r$ .

r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Hapus faktor persekutuan dari

{(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}

${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ dan

{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}

${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan

{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}

${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ dari

{(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}

${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Kalikan dengan

1

$1$ .

r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Langkah 2.2.1.2.4

Bagilah

${(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ dengan

$1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Langkah 2.2.2

Tambahkan

$n$ dan

$0$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

Langkah 2.2.3.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

Langkah 2.2.4

Kurangi

$n$ dengan

$n$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Langkah 2.2.5

Tambahkan

$0$ dan

$1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{1}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$r = - \frac{1}{3}$

Langkah 3

Since

$| r | < 1$ , the series converges.

Langkah 4

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan

$1$ untuk

$n$ ke dalam

${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi

$1$ dengan

$1$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{0}$

Langkah 4.2.2

Gunakan kaidah pangkat

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke

$- \frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} {(\frac{1}{3})}^{0}$

Langkah 4.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke

$\frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Langkah 4.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke

$0$ adalah

$1$ .

$a = 1 \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Langkah 4.2.4

Kalikan

$\frac{1^{0}}{3^{0}}$ dengan

$1$ .

$a = \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Langkah 4.2.5

Apa pun yang dinaikkan ke

$0$ adalah

$1$ .

$a = \frac{1}{3^{0}}$

Langkah 4.2.6

Apa pun yang dinaikkan ke

$0$ adalah

$1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Langkah 4.2.7

Bagilah

$1$ dengan

$1$ .

$a = 1$

Langkah 5

Substitusikan nilai rasio dan suku pertama ke dalam rumus penjumlahan.

$\frac{1}{1 - - \frac{1}{3}}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Kalikan

$- - \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$\frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{3})}$

Langkah 6.1.1.2

Kalikan

$\frac{1}{3}$ dengan

$1$ .

$\frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Langkah 6.1.2

Tuliskan

$1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Langkah 6.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

Langkah 6.1.4

Tambahkan

$3$ dan

$1$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Langkah 6.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$1 (\frac{3}{4})$

Langkah 6.3

Kalikan

$\frac{3}{4}$ dengan

$1$ .

$\frac{3}{4}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{3}{4}$

Bentuk Desimal:

$0.75$