Kalkulus Contoh

$lim_{y \to 4} \frac{y^{2} - 16}{\sqrt{y} - 2}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{y \to 4} y^{2} - 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $y$ mendekati $4$ .

$\frac{lim_{y \to 4} y^{2} - lim_{y \to 4} 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Langkah 1.1.2.1.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $y^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{y \to 4} y)}^{2} - lim_{y \to 4} 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Langkah 1.1.2.1.3

Evaluasi limit dari $16$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $4$ .

$\frac{{(lim_{y \to 4} y)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $4$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{4^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Langkah 1.1.2.3.2

Kurangi $16$ dengan $16$ .

$\frac{0}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $y$ mendekati $4$ .

$\frac{0}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - lim_{y \to 4} 2}$

Langkah 1.1.3.1.2

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{y \to 4} y} - lim_{y \to 4} 2}$

Langkah 1.1.3.1.3

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{y \to 4} y} - 1 \cdot 2}$

Langkah 1.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $4$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Langkah 1.1.3.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Langkah 1.1.3.3.2

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{y \to 4} \frac{y^{2} - 16}{\sqrt{y} - 2} = lim_{y \to 4} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 16]}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{y \to 4} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 16]}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} - 16$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 16]$ .

$lim_{y \to 4} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 16]}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y + \frac{d}{d y} [- 16]}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Langkah 1.3.4

Karena $- 16$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 16$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y + 0}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Langkah 1.3.5

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Langkah 1.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sqrt{y} - 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\sqrt{y}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y}] + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Langkah 1.3.7

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\sqrt{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Langkah 1.3.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Langkah 1.3.7.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Langkah 1.3.7.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Langkah 1.3.7.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Langkah 1.3.7.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Langkah 1.3.7.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Langkah 1.3.7.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Langkah 1.3.8

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} + 0}$

Langkah 1.3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.9.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Langkah 1.3.9.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.9.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Langkah 1.3.9.2.2

Tambahkan $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ dan $0$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}$

Langkah 1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{y \to 4} 2 y (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.5

Tulis kembali $y^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{y}$ .

$lim_{y \to 4} 2 y (2 \sqrt{y})$

Langkah 1.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$lim_{y \to 4} 4 y \sqrt{y}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $y$ .

$4 lim_{y \to 4} y \sqrt{y}$

Langkah 2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $y$ mendekati $4$ .

$4 lim_{y \to 4} y \cdot lim_{y \to 4} \sqrt{y}$

Langkah 2.3

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$4 lim_{y \to 4} y \cdot \sqrt{lim_{y \to 4} y}$

Langkah 3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $4$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $4$ ke dalam (Variabel2).

$4 \cdot 4 \cdot \sqrt{lim_{y \to 4} y}$

Langkah 3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $4$ ke dalam (Variabel2).

$4 \cdot 4 \cdot \sqrt{4}$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$16 \cdot \sqrt{4}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$16 \cdot \sqrt{2^{2}}$

Langkah 4.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$16 \cdot 2$

Langkah 4.4

Kalikan $16$ dengan $2$ .

$32$